数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 極限 / Page: 0]

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■32083 / inTopicNo.1)

　極限

□投稿者/ Shinohara 一般人(1回)-(2008/03/12(Wed) 16:21:11)

(1)aを定数とし、正の数からなる数列{x[n]}は
lim[n→∞](√(x[n]+n)-√n)=a
を満たすとする。このとき、lim[n→∞]x[n]/√n=2aが成り立つことを示せ。

(2)自然数L、nに対して
√(L+n+1)-√(n+1)＜Σ[k=1→L]1/√(k+n)＜√(L+n)-√n
が成り立つことを示せ。

(3)bは定数で、b＞1とする。自然数nに対して、集合
{L|LはΣ[k=1→L]1/√(k+n)＜bを満たす自然数}
の要素の個数をL[n]とする。このときlim[n→∞]L[n]/√n=bが成り立つことを示せ。

(1)と(2)はなんとか解けたのですが、(3)が全然わかりません。多分(1)と(2)を利用してはさみうちの原理に持ち込むと思うのですが…。(3)の解き方を教えてください。お願いします。

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■32094 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス軍団(107回)-(2008/03/13(Thu) 00:54:53)

> (2)自然数L、nに対して
> √(L+n+1)-√(n+1)＜Σ[k=1→L]1/√(k+n)＜√(L+n)-√n
> が成り立つことを示せ。

$2$L=1$ のとき
（中辺）＝ $2$\displaystyle \sum_{k=1}^{1}\frac{1}{\sqrt{k+n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}$
（右辺）＝ $2$\displaystyle\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
で

（中辺）＞（右辺）となり成り立たない気がするのですが・・・

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■32095 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ Shinohara 一般人(2回)-(2008/03/13(Thu) 01:06:17)

すみません、問題を間違えてました。

(誤)√(L+n+1)-√(n+1)＜Σ[k=1→L]1/√(k+n)＜√(L+n)-√n

(正)√(L+n+1)-√(n+1)＜{Σ[k=1→L]1/√(k+n)}/2＜√(L+n)-√n

です。

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■32100 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 極限

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス軍団(108回)-(2008/03/13(Thu) 10:58:41)

2008/03/13(Thu) 11:01:54 編集(投稿者)

$2$\displaystyle\sum_{k=1}^N \frac{1}{\sqrt{k+n}}<\sum_{k=1}^{N+1} \frac{1}{\sqrt{k+n}}$ なので
$2$L_n$ は $2$\displaystyle\sum_{k=1}^L \frac{1}{\sqrt{k+n}}<b$ を満たす $2$L$ のうち最大のものである。

(2)の不等式を利用すれば

$2$\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{L_n}\frac{1}{\sqrt{k+n}}<\sqrt{L_n+n}-\sqrt{n}<\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{L_n}\frac{1}{\sqrt{k+n-1}}$ …①
(左辺の評価)
$2$L_n$ の最大性より
$2$\displaystyle\sum_{k=1}^{L_n+1}\frac{1}{\sqrt{k+n}}\geq b$ なので
$2$\displaystyle\sum_{k=1}^{L_n}\frac{1}{\sqrt{k+n}}\geq b-\frac{1}{\sqrt{n+L_n+1}}>b-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ …②
（右辺の評価）
$2$\displaystyle\sum_{k=1}^{L_n}\frac{1}{\sqrt{k+n-1}}=\sum_{k=1}^{L_n}\frac{1}{\sqrt{k+n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{L_n+n}}<b+\frac{1}{\sqrt{n}}$ …③

①,②,③より

$2$\frac{b}{2}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}}<\sqrt{L_n+n}-\sqrt{n}<\frac{b}{2}+\frac{1}{2\sqrt{n}}$

挟み撃ちの原理より
$2$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(\sqrt{L_n+n}-\sqrt{n})=\frac{b}{2}$

問１の結果より

$2$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{L_n}{\sqrt{n}}=b$

方針はいかに（１）と（２）を利用できる形にするかです。最後の形が（１）のものと同じですので $2$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(\sqrt{L_n+n}-\sqrt{n})=\frac{b}{2}$ が示せばよいことと、そのために（２）の式の利用を考えますが、中辺にでてくる式の形が（２）の不等式の左辺および右辺にあることに注意しましょう。

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