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{f_n}は集合Eでfに各点収束,{f_n}がfにEで一様収束する⇔lim[n→∞]sup{|f_n(x)-f(x)|;x∈E}=0
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□投稿者/ yuuka 一般人(4回)-(2008/03/09(Sun) 03:35:55)
 | 下記の命題が上手く証明できません。
[命題]{f_n}を集合Eでfに各点収束する実数値関数とする。
各n∈Nに対し,M_n=:sup{|f_n(x)-f(x)|;x∈E}と置くと
{f_n}がfにEで一様収束する⇔lim[n→∞]M_n=0
各点収束の定義は
0<∀ε∈R,∀x∈E,∃L∈N;(L<n⇒|f(x)-f_n(x)|≦ε)
一様収束の定義は
0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<n,x∈E⇒|f(x)-f_n(x)|≦ε)
sup{|f_n(x)-f(x)|;x∈E}の定義は
(i) ∀x∈E,x<sup{|f_n(x)-f(x)|;x∈E}
(ii) 0<∀ε∈R,∃x∈E;(sup{|f_n(x)-f(x)|;x∈E}-ε<|f_n(x)-f(x)|)
lim[n→∞]M_n=0の定義は
0<∀ε∈R,∃L∈N;L<n⇒|M-0|<ε
です。
こんがらがってしまいました。
どのような手順で証明を進めればいいのでしょうか?
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