数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 集合 / Page: 0]

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■32027 / inTopicNo.1)

　集合

□投稿者/ digi 一般人(4回)-(2008/03/09(Sun) 00:57:00)

4つ質問があります。お願いします。
(1)空集合の記号に $2$\emptyset$ というのがありますが，ギリシャ文字の $2$\phi$ とどちらを使うべきなのでしょうか？

(2)ある集合A,Bと数xがあるとします． $2$\in$ の記号は $2$x \in A$ という使い方が一般的だと思いますが， $2$x \ni A$ という使い方はおかしいですよね？また， $2$B \in A$ という使い方も間違ってないのでしょうか？

(3) $2$A \subset B$ はA=Bの場合も含むそうですが， $2$\subseteq$ の記号はそれを明示するためのものと思えばいいのでしょうか？

(4) $2$A \ominus B$ と $2$A \oplus B$ の違いは何ですか？

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■32040 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 集合

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□投稿者/ サボテンファミリー(166回)-(2008/03/10(Mon) 09:43:07)

2008/03/10(Mon) 09:44:41 編集(投稿者)

(1)よく知りません。どちらでも良いかと・・・
(2)Aが集合の集合(ベキ集合など)ならば、B∈Aと言う使い方はあり得ます。
(3)多分そうだと思います。
(4)http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E5%92%8C
　差に関してはA-B=(A＼B)∩(B＼A)です。
　

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■32057 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 集合

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□投稿者/ digi 一般人(7回)-(2008/03/10(Mon) 22:06:13)

>差に関してはA-B=(A＼B)∩(B＼A)です。

＼ってなんですか？

論理代数かなんかで、
$2$A \oplus B=(A\cap B^c) \cup (A^c \cap B)$
っていうのを聞いたことがあるのですが、
これって $2$A \ominus B$ と同じような気がするのですが？

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■32059 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 集合

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□投稿者/ x 一般人(43回)-(2008/03/10(Mon) 22:57:54)

空集合に $2$\phi$ を充てるのは昔の写植で該当フォントが無い時に使われた代用表記で出自も異なるものなので, 既に印刷技術も様変わりした昨今いまだに検定教科書なんかで $2$\phi$ を使っているのは悪習に属する話だろう. $2$\empty$ の使える状況でわざわざ $2$\phi$ と書く理由はあまり無いと思う.

通常は「集合の差」 $2$A \setminus B$ は $2$A \cup B^c$ で定義される. 一方, $2$A \ominus B$ よりは $2$A \triangle B$ と書かれることが多いと思うが, は「対称差」と呼ばれ, $2$A \triangle B = (A \setminus B)\cup(B \setminus A)$ で定義される. ブール代数では, 差（あるいは対称差）と共通分（積集合）をそれぞれ加法と乗法とする環構造を扱うので, 確かに対称差を (加法であるということを強調する意味で) $2$A \oplus B$ と書くことはある. 逆に「集合の直和」に対してこの記号 $2$\oplus$ を遣うことはまず無いといっていいだろう.

どんなものでもそうだが, 記号の「意味」というものは文脈に完全に依存するものであり, 記号それ自体が天賦の意味を持っているわけではないことには注意をするべきだと思う. またよく使われる表記にいくつかの流儀がある場合に「違いはなんですか, 同じだと思いますが」と言ったようなやり取りをしてもあまり益はないので, やめたほうがいいだろう. 高校までの数学は特殊で, あまり同一の記号で複数の意味になるようなことが起きないようにしてあるものだが, それでも "a と b との最大公約数" も "端点が a, b (a < b) の開区間も同じく (a, b) と表すようなことは出てくるし, 大学以上の一般の数学ではある程度の慣習を除けば, 文脈を無視して表記だけかかれたものだけからは意味が通じないのは当たり前に出てくる.

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■32062 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 集合

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□投稿者/ digi 一般人(8回)-(2008/03/11(Tue) 00:05:51)

>大学以上の一般の数学ではある程度の慣習を除けば, 文脈を無視して表記だけかかれたものだけからは意味が通じないのは当たり前に出てくる.

数学では記号とかはいろいろな意味にとることができるわけですか．それって初めて学ぶ人にとっては困りますよね．自分が持ってる集合の本には、差集合はA-Bで表すと書いてあります．もちろん記号が違うだけですが．なぜいろいろな記号が使われるようになったのでしょうか？何か決まりみたいなものはないのでしょうか？

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■32066 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 集合

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス軍団(104回)-(2008/03/11(Tue) 00:39:47)

> 数学では記号とかはいろいろな意味にとることができるわけですか．それって初めて学ぶ人にとっては困りますよね．自分が持ってる集合の本には、差集合はA-Bで表すと書いてあります．もちろん記号が違うだけですが．なぜいろいろな記号が使われるようになったのでしょうか？何か決まりみたいなものはないのでしょうか？

それは定義した人（本なら著者など）がそれぞれいるからではないでしょうか？数学の本を読む上では記号が違うものであっても定義を見て、「ああ、これはあの意味か」などと自分で解釈して読み進めなければなりません。たとえA-Bを差集合であると認識してる人がいても、論文や本に違う定義を書いていればその定義に従うべきですので、慣習はあれど絶対的な決まりはないですね。

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■32078 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 集合

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□投稿者/ x 一般人(47回)-(2008/03/11(Tue) 22:08:00)

> 数学では記号とかはいろいろな意味にとることができるわけですか．それって初めて学ぶ人にとっては困りますよね．

これは認識としては間違ったものである. 既述の通り「記号の意味は記号の中には無い」あるいは「記号の意味は文脈のほうにある」ということなので, まともにその文章を読んでいれば記号の意味はふつう一通りにしかとれない. 記号それ自体を文脈から切り離してしまっては意味自体が消滅してしまって数学は出来ないということ.

> なぜいろいろな記号が使われるようになったのでしょうか？
数学で扱う概念は膨大で, 記号の使い方に慣習ができていなかったり, あるいはある議論を体系付けるために記号類を刷新したり, いろいろの理由から記号が決まってしまっては議論が不便であるから. だいたい一人の人間が一度に使える記号というのはそれほど多くは無いので, 議論の都度ローカルな記号法を用いるほうが自然と当たり前になる.

> 何か決まりみたいなものはないのでしょうか？
あまり突拍子も無いことをやると話が通じなくて, その辺の話が通じるようになるまで本来の議論を置いてきぼりにしなければならないことになるので, 大抵はその筋の慣習に従うことになる. 慣習もやはり文脈の一つなので, 上で出ている $2$\setminus$ や $2$-$ だとか $2$\triangle$ と $2$\oplus$ だとか, 同じ意味を表すために異なる文脈でそれぞれに適した記号が使われるということはむしろ自然だといえるだろう.

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■32079 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 集合

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□投稿者/ digi 一般人(10回)-(2008/03/11(Tue) 23:50:47)

なるほど。

みなさん、くわしく解説していただきどうもありがとうございました！

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