数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 定積分における置換積分 / Page: 0]

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■31983 / inTopicNo.1)

　定積分における置換積分

□投稿者/ シン一般人(1回)-(2008/03/06(Thu) 16:53:11)

とある問題集からですが、

問題
$2$\displaystyle\int_{-1}^1 {\frac{x^2}{1+e^x}dx}$

解答
(与式)=
$2$\displaystyle\int_{-1}^0 {\frac{x^2}{1+e^x}dx} + \displaystyle\int_{0}^1 {\frac{x^2}{1+e^x}dx}$
・・・①

ここで、
$2$\displaystyle\int_{-1}^0 {\frac{x^2}{1+e^x}dx}$
x=-tと置換すると、
$2$\displaystyle\int_{1}^0 {\frac{t^2}{1+e^{-t}}(-dt)}$
=
$2$\displaystyle\int_{0}^1 {\frac{t^2}{1+e^{-t}}dt}$
=
$2$\displaystyle\int_{0}^1 {\frac{{x^2}e^x}{e^{x}+1}dx}$
・・・②

よって、①、②から
$2$\displaystyle\int_{0}^1 {\frac{x^{2}e^{x}+x^2}{e^{x}+1}dx}$
=
$2$\displaystyle\int_{0}^1 {x^{2}dx}$
=
$2$\frac{1}{3}$

とあるのですが、
$2$\displaystyle\int_{0}^1 {\frac{t^2}{1+e^{-t}}dt}$
=
$2$\displaystyle\int_{0}^1 {\frac{{x^2}e^x}{e^{x}+1}dx}$
ここの変形がよく分かりません。
e^tをかけてtを-xに戻すと、計算が合わないのです。
別の変形方法があるのでしょうか？
よろしくお願いいたします。

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■31984 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 定積分における置換積分

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□投稿者/ シン一般人(2回)-(2008/03/06(Thu) 16:55:16)