 | 直線群が、ｙ切片が k で、傾きが1の直線であることはいいでしょうか？
簡単な場合から順に考えていきます。
(1) m=0 の時（答を書く時は書く必要はありません）
A (2/3,1/3) から P(2/3, n+1/3)に至るのに、何本の直線を横切らなければならないでしょうか?
わかりますか？ちょっと考えてみてくださいね。
真上(y軸の正の方向)に n だけ進むわけです。直線群は、ちょうど1ずつ離れて引かれています(グラフを書いてみてください; y=x, y=x+1, y=x+2 y=x+3 ... といった直線のグラフです)。ですから、n 進む間に n本と交わります。上に n 進もうが、下に n 進もうが、同じです。なので、この場合は n 本になります。
もし、この場合がわからなければ、具体的に n=1 の場合(つまり P=(2/3, 4/3)の時)に、グラフ用紙に大体の A, P の位置と直線 y=x, y=x+1, y=x+2 を書いてみてください。わかったら、n=2 の場合で同じことをしてみてください。すると(1)の場合が理解できると思います。
(2)m>0 の時。
P を通って傾きが直線群と同じ 1 の直線を考えます。この直線上を移動する限り、y=x+k という直線とは交わりません(平行線だから)。P から、Pを通って傾き1の直線に沿って x方向に -m だけ進んでみます。傾き１ということは、x方向に -m進むとy方向に -m 進みますから、A'=(2/3,n-m+1/3) に到達します。A' はm=0 の場合の(1)と同じように考えることができます。だから、n-m が正なら、(1)でやったように、(n-m)本横切ることになります。
ただし、A'=(2/3,n-m +1/3) で、n-m が負かもしれませんので注意が必要です。負ということは A'はAの下側にあることになるので、たとえば、n-m = -3 であれば、横切る直線群の本数は -3本ではなくて、3本になります。つまり、絶対値の本数分だけ横切ります。
２つの場合をまとめると、横切る本数は |n-m|本になります。
もし、よくわからなければ、m=1, n=2 の場合や、m=2, n=1 の場合に A' がどこになるか、y=x+k という直線はどうなっているか、グラフ用紙に書いて確かめてみてください。きっとわかると思います。
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