 | どうでもいい話ではありますが、気になったので口を挟みます。
どうなるか？の答は「（狭義単調）増加」の定義によります。
未確認ですが、教科書の中には y=f(x)が「（狭義単調）増加である、とは、f'(x)>0 となること」と定義しているものもあります。
この定義に従えばらすかるさんのおっしゃる通りです。
でも、微分を使わず、関数 y=f(x)がある区間で（狭義単調）増加である、とは、その区間の x1, x2, (x1<x2)に対して f(x1)<f(x2)であること、と定義する流儀もあります。その場合、元の質問は「2≦x≦3」で（狭義単調）減少になりますし、y=x^3 は実数全体で（狭義単調）増加になります。
今一度定義をご確認ください。
いずれにせよ、y=x^3 がx≠0で増加であることも、質問のy=f(x)が2<x<3で減少であることも、間違いありません。
高校の先生の中には、ご質問の関数が2≦x≦3で単調減少なんてのはおかしい、とおっしゃる方もいるので、あまり深入りしない方がよろしいかと思います。
折れ線や階段のようなグラフからわかるように、微分できない点があるけど増加関数なんてのは山ほどあるので、微分を使わない定義が数学的にはいいように思います。
高校の範囲では微分できる関数しか扱わないので微分で定義する方が楽、という流儀が増えているようです。
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