数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[9]: 極座標変換 / Page: 0]

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■31769 / inTopicNo.1)

　極座標変換

□投稿者/ daigo 一般人(1回)-(2008/02/25(Mon) 02:43:21)

直交座標系の点 $2$(A_x, A_y, A_z)$ を極座標系の点 $2$(A_r, A_{\theta}, A_{\phi})$ に変換するときに，
$2$A_r=A_x\sin {\theta}\cos {\phi}+A_y\sin {\theta}\sin {\phi}+A_z\cos {\theta}$
$2$A_{\theta}=A_x\cos {\theta}\cos {\phi}+A_y\cos {\theta}\sin {\phi}-A_z\sin {\theta}$
$2$A_{\phi}=A_x(-\sin {\phi})+A_y\cos {\phi}$
とすればいいそうですが，これはどのように導かれるのでしょうか？

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■31780 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極座標変換

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□投稿者/ X 軍団(110回)-(2008/02/25(Mon) 21:40:14)

>>～とすればいいそうですが，
よくありません。問題の変換式の右辺にθ、φの式が混じっています。

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■31794 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 極座標変換

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□投稿者/ サボテンファミリー(156回)-(2008/02/26(Tue) 14:32:07)

>Xさん
座標変換の式に座標パラメータが入るのは問題ないと思いますが・・・。

>daigoさん
極座標の正規直交基底は直交座標系で
er=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)
eθ=(cosθcosφ,cosθsinφ,-sinθ)
eφ=(-sinφ,cosφ,0)
と表されます。

変換行列をR,(ex,ey,ez)=E(x,y,z) , (er,eθ,eφ)=E(r,θ,φ)と表すと、
E(x,y,z)A(x,y,z)=E(r,θ,φ)R^(-1)RA(r,θ,φ)
よってA(x,y,z)=RA(r,θ,φ)
A(r,θ,φ)として単位行列を取ると、

R=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)
(cosθcosφ,cosθsinφ,-sinθ)
(-sinφ,cosφ,0)

となります。(問題の答えは関係が逆になっている気がするのですが・・・)

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■31797 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 極座標変換

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□投稿者/ X 軍団(111回)-(2008/02/26(Tue) 18:04:09)

>>サボテンさんへ
ご指摘ありがとうございます。
>>点(Ax,Ay,Az)～点(Ar,Aθ,Aφ)
を
関数ベクトル(Ax,Ay,Az)～(Ar,Aθ,Aφ)
のタイプミスと解釈できませんでした。
>>daigoさんへ
こちらの早とちりでした。私の回答は無視して下さい。

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■31801 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 極座標変換

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□投稿者/ daigo 一般人(3回)-(2008/02/26(Tue) 23:32:42)

回答ありがとうございます。

基底についてはよく知らないので、サボテンさんが回答してくださったことはよくわからないのですが…．

基底について理解していないとやはり難しいでしょうか？
もしそうなら暗記しようと思うのですが。

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■31802 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 極座標変換

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□投稿者/ soredeha 一般人(1回)-(2008/02/27(Wed) 01:51:53)

x=rsinθcosΦ , y=rsinθsinΦ , z=rcosθ より
∂x/∂r=sinθcosΦ , ∂y/∂r=sinθsinΦ , ∂z/∂r=cosθ

(∂x/∂r)^2+(∂y/∂r)^2+(∂z/∂r)^2=(sinθcosΦ)^2+(sinθsinΦ)^2+(cosθ)^2=1

Ar=(Ax,Ay,Az)・(sinθcosΦ/1,sinθsinΦ/1,cosθ/1)

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■31836 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 極座標変換

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□投稿者/ daigo 一般人(4回)-(2008/02/28(Thu) 00:16:46)

■No31802に返信(soredehaさんの記事)
> x=rsinθcosΦ , y=rsinθsinΦ , z=rcosθ より
> ∂x/∂r=sinθcosΦ , ∂y/∂r=sinθsinΦ , ∂z/∂r=cosθ
>
> (∂x/∂r)^2+(∂y/∂r)^2+(∂z/∂r)^2=(sinθcosΦ)^2+(sinθsinΦ)^2+(cosθ)^2=1

ここまでは分かるのですが。上の式から次の式が導かれるのはどうしてですか？

> Ar=(Ax,Ay,Az)・(sinθcosΦ/1,sinθsinΦ/1,cosθ/1)

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■31841 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 極座標変換

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□投稿者/ soredeha 一般人(2回)-(2008/02/28(Thu) 02:50:30)

ベクトルＡと ∂/∂r(x,y,z) の為す角をαとすると
|A|cosα=Ar
---------------
A・∂/∂r(x,y,z)=|A||∂/∂r(x,y,z)|cosα
|A|cosα=A・∂/∂r(x,y,z)/|∂/∂r(x,y,z)|

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■31843 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 極座標変換

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□投稿者/ サボテンファミリー(157回)-(2008/02/28(Thu) 08:48:08)

2008/02/28(Thu) 08:58:21 編集(投稿者)

別解ですが、微分形式についての知識があるならば
dr=∂r/∂xdx+∂r/∂ydy+∂z/∂ydz
などの変換式から導くことが可能です。

やはりdaigoさんの問題に書かれた式は成分の変換式ではなく、
基底ベクトルの変換公式だと
思うのですが・・・。
つまり、
∂/∂r=∂x/∂r∂/∂x+∂y/∂r∂/∂y+∂z/∂r∂/∂z
の∂/∂rなどをA_rなどと置き換えた式です。

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■31860 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 極座標変換

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□投稿者/ daigo 一般人(5回)-(2008/02/29(Fri) 20:09:08)

すいません、別の本に自分の求めていると思われることが書いてありました。それを読んで考えてみたいと思います．

どうもありがとうございました！

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