 | (1)
余弦定理より
AC^2=AB^2+BC^2-2AB・BCcos∠B=6
∴AC=√6
余弦定理より
cos∠ACB=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2AC・BC)=1/√2
∴∠ACB=45°
(2)
△ABCにおいて、Aから辺BCに下ろした垂線の足をHとすると、△AHCが直角二等辺三角形となるので、AH=AC/√2=√3
∴△ABC=BC・AH/2=(3+√3)/2
次に、△ACDは、(1)より∠ACD=30°、また、四角形ABCDが円に内接することから∠ADC=120°の二等辺三角形であると分かる。
ここで、DからACに下ろした垂線の足をIとすると、直角三角形CIDは、正三角形を半分に切った形なので、DI=CI/√3=AC/(2√3)=1/√2
∴△ACD=AC・DI/2=√3/2
∴四角形ABCD=△ABC+△ACD=(3+2√3)/2
直線BCに点Aから下ろした垂線の足をHとする。
AH=ABsin∠ABH=20sin30°=10
△ACHは直角二等辺三角形なので、AC=10√2
∴PC=10√6
ここで、直線ACに点Bから下ろした垂線の足をIとすると、
BC=√2BI=√2ABsin∠BAI=√2・20sin15°=10(√3-1)
∴△ABC=BC・AH/2=50(√3-1)
よって、三角錐PABCの体積をVとすると、
V=△ABC・PC/3=500(3√2-√6)/3
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