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■31691 / inTopicNo.1)  関数
  
□投稿者/ やまとも 一般人(3回)-(2008/02/23(Sat) 01:07:04)
    平面上を運動する点Pの座標(x,y)が時刻tのとき、x=f(t)sint,y=f(t)costで表されている。Pはt=0のとき(0,1)にあり、tが限りなく大きくなるとき原点(0,0)に近づき、時刻tにおける速さは2f(t)に等しいという。
    (1)関数f(t)を求めよ。
    (2)時刻0から時刻aまでの間に、点Pが動く道のりを求めよ。ただし、a>0とする。

    お久しぶりです。
    また教えてください、お願いします。
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■31694 / inTopicNo.2)  Re[1]: 関数
□投稿者/ X 軍団(107回)-(2008/02/23(Sat) 07:26:46)
    (1)
    題意から速さについて
    √{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}=2f(t) (A)
    (A)に
    x=f(t)sint (B)
    y=f(t)cost (C)
    を代入して整理すると
    f'(t)=f(t)√3,-f(t)√3
    これを解き
    点Pはt=0のとき(0,1)にある
    ことから任意定数を決定します。
    但し、得られたf(t)に対して
    tが限りなく大きくなるとき、点Pが原点(0,0)に近づく
    かどうかをチェックしましょう。

    こちらの計算では
    f(t)=e^(-t√3)
    となりました。

    (2)
    求める道のりをLとすると
    L=∫[0→a]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt (D)
    (D)に(A)と(1)の結果を代入します。

    こちらの計算では
    L=2{1-e^(-a√3)}/√3
    となりました。
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