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■31691
/ inTopicNo.1)
関数
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□投稿者/ やまとも
一般人(3回)-(2008/02/23(Sat) 01:07:04)
平面上を運動する点Pの座標(x,y)が時刻tのとき、x=f(t)sint,y=f(t)costで表されている。Pはt=0のとき(0,1)にあり、tが限りなく大きくなるとき原点(0,0)に近づき、時刻tにおける速さは2f(t)に等しいという。
(1)関数f(t)を求めよ。
(2)時刻0から時刻aまでの間に、点Pが動く道のりを求めよ。ただし、a>0とする。
お久しぶりです。
また教えてください、お願いします。
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■31694
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 関数
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□投稿者/ X
軍団(107回)-(2008/02/23(Sat) 07:26:46)
(1)
題意から速さについて
√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}=2f(t) (A)
(A)に
x=f(t)sint (B)
y=f(t)cost (C)
を代入して整理すると
f'(t)=f(t)√3,-f(t)√3
これを解き
点Pはt=0のとき(0,1)にある
ことから任意定数を決定します。
但し、得られたf(t)に対して
tが限りなく大きくなるとき、点Pが原点(0,0)に近づく
かどうかをチェックしましょう。
こちらの計算では
f(t)=e^(-t√3)
となりました。
(2)
求める道のりをLとすると
L=∫[0→a]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt (D)
(D)に(A)と(1)の結果を代入します。
こちらの計算では
L=2{1-e^(-a√3)}/√3
となりました。
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