 | ■No31682に返信(moidiさんの記事)
> xy平面状の1点をF(2,0)とする。任意の点P(x,y)からy軸におろした垂線の足をHとする。定数a(0<a<1)に対して、Pが条件PF=a･PHを満たすとする。
> (1) 点Pが描く曲線Cの方程式を求めよ。
楕円 (1-a^2)x^2-4x+4+y^2＝0 …① 変形すれば、(1-a^2)^2/(4a^2)・(x-2/(1-a^2))^2+(1-a^2)/(4a^2)・y^2＝1 …①'
> (2) 曲線C上の点Pにおける接線が原点Oを通るとき、Pのx座標をもとめよ。
①をxで微分 y'＝1/y・{2-(1-a^2)x} …②
接点を(s,t)とおけば、(1-a^2)s^2-4s+4+t^2＝0 …③ で
接線は、y＝1/t・{2-(1-a^2)s}(x-s)+t。
(0,0)および③を代入して、s=2 すなわち 点Pのx座標は 2
> (3) 第1象限にある曲線C上の点Pに対して、台形OFPHの面積をSとするとき、SをPの座標(x,y)で表し、y･dS/dxを求めよ。
S＝1/2・(x+2)y。
dS/dx＝1/2・{y+(x+2)y'} ①②代入
y・dS/dx＝1/2・{y^2+(x+2){2-(1-a^2)x}}＝-(1-a^2)x^2+(2+a^2)x
> (4)面積Sが最大となる曲線C上の第1象限にある点Pのx座標を求めよ。
点Pは第１象限より x＞0、y＞0 で
①'より、0＜2(1-a)/(1-a^2)＜x＜2(1+a)/(1-a^2)。
dS/dx＝0 のとき x＝0,(2+a^2)/(1-a^2)
増減表より
S最大の時、x＝(2+a^2)/(1-a^2)
|
