数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 図形と方程式 / Page: 0]

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■31635 / inTopicNo.1)

　図形と方程式

□投稿者/ moidi 一般人(6回)-(2008/02/19(Tue) 19:38:57)

△ＡＢＣの面積をＳ、辺ＢＣ、ＣＡ，ＡＢの長さをそれぞれa,b,c(a>b>c)とする。点Pが△ABCの内部及び周上を動くとき、点Pから各辺BC,CA,ABまたはその延長上へ引いた垂線の長さをそれぞれx,y,zとする。このとき次の問いに答えよ。
(1)Sをa,b,c,x,y,zで表せ。
(2)X=ax,Y=byとおくとき、点（X,Y)の存在する範囲を図示せよ。
(3)x+y+zをa,b,c,S,X,Yで表し、それが最大及び最小となる点Pをそれぞれ求めよ。

(2)以降がわかりません。
よろしくお願いします。

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■31648 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 図形と方程式

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□投稿者/ X 軍団(104回)-(2008/02/20(Wed) 09:07:39)

2008/02/20(Wed) 09:10:01 編集(投稿者)

(1)
S=(ax+by+cz)/2
はよろしいですか？。

(2)
題意から(1)の結果を用いると
S=(X+Y+cz)/2 (A)
∴cz/2=S-(X+Y)/2>0 (B)
一方
X>0 (C)
Y>0 (D)
(A)より
S>(X+Y)/2 (B)'
(B)'(C)(D)の共通領域が点(X,Y)の存在範囲です。

(3)
前半)
(A)より
z=(2S-X-Y)/c
又x=X/a,y=Y/b
∴x+y+z=X/a+Y/b+(2S-X-Y)/c
=(1/a-1/c)X+(1/b-1/c)Y+2S/c (E)
後半)
(E)=k (F)
と置き、(2)の結果の領域上に直線(F)を引いて考えましょう。
(まず、a>b>cに注意して(F)の傾きの範囲を考えましょう)

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■31649 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 図形と方程式

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□投稿者/ moidi 一般人(7回)-(2008/02/20(Wed) 17:02:50)

(2)はグラフの中に２Sが出てきて良いのでしょうか。

(3)
私がやったところ、傾きが正なので、(0,2S)を通るときkは最大、(2S,0)を通るときkは最小となります。
ここまでもあってるか分からないのですが、この後、Pの座標をどうやって出せばよいのでしょうか。

よろしくお願いします。

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■31650 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 図形と方程式

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□投稿者/ X 軍団(105回)-(2008/02/20(Wed) 19:30:44)

>>(2)はグラフの中に２Sが出てきて良いのでしょうか。
問題にするのは飽くまでX,Yの関係なので、それで問題ありません。

>>私がやったところ、傾きが正なので、～
(F)の傾きは正ではなく、負です。

(F)より
(1/a-1/c)X+(1/b-1/c)Y+2S/c=k
(c/a-1)X+(c/b-1)Y+2S=ck
(c/b-1)Y=-(c/a-1)X+ck-2S
Y=-b(a-c)X/{a(b-c)}+(ck-2S)/(c/b-1) (F)'
ここで
((F)'の傾き)=g(b)
と置くと、
g(b)=-b(a-c)/{a(b-c)}
=-(a-c)/a-c(a-c)/{a(b-c)}
ですので、a>b>c>0により
g(b)<-(a-c)/a-c(a-c)/{a(a-c)}=-1
∴(F)'の傾きは(2)で得た領域の境界である直角二等辺三角形の斜辺より
傾きが急であることが分かります。よって…

＞＞この後、Pの座標をどうやって出せばよいのでしょうか。
この問題では△ABCが座標平面に置かれているわけではありません。
従って、最大・最小のとき点Pは△ABCに対してどのような点であるか
(重心、外心、内心etc)求める必要があります。
そこでまず最大最小のときのx,y,zの値を求めることから考えましょう。

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■31671 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 図形と方程式

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□投稿者/ moidi 一般人(9回)-(2008/02/22(Fri) 12:46:10)

すみません。
日があいてしまいましたが、やっぱり分かりません。

kが最大になるのは(2S,0)を通るときで、k=S(3a-2c)/ac=(ax+by+cz)(3a-2c)/2ac
kが最小になるのは(0,0)を通るときで、k=2S/c=(ax+by+cz)/c

となりました。
この後、どうしたらよいのでしょうか。

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■31672 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 図形と方程式

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□投稿者/ miyup 大御所(326回)-(2008/02/22(Fri) 13:58:43)

■No31671に返信(moidiさんの記事)
> kが最大になるのは(2S,0)を通るときで、k=S(3a-2c)/ac=(ax+by+cz)(3a-2c)/2ac
> kが最小になるのは(0,0)を通るときで、k=2S/c=(ax+by+cz)/c

X=ax,Y=ay で
(X,Y)=(2S,0) のとき、S=1/2・ax
(X,Y)=(0,2S) のとき、S=1/2・by
(X,Y)=(0,0) のとき、x=0,y=0

x,y,z の図形的意味を考えれば、P の位置が分かります。

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■31681 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 図形と方程式

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□投稿者/ moidi 一般人(10回)-(2008/02/22(Fri) 21:26:19)

やっと解けました。

Xさん、miyupさん有難うございました。

解決済み!

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