数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 級数の収束の命題の証明 / Page: 0]

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■31601 / inTopicNo.1)

　級数の収束の命題の証明

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□投稿者/ mmm 一般人(2回)-(2008/02/17(Sun) 02:41:23)

宜しくお願い致します。

[命題]Σ[k=1..∞]a(k)が収束,Σ[k=1..∞]が絶対収束ならばΣ[k=1..∞]a(k)b(k)は収束。
という命題がなかなか証明できません。どのようにして証明すればいいのでしょうか?

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■31607 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 級数の収束の命題の証明

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□投稿者/ のぼりん一般人(1回)-(2008/02/17(Sun) 11:26:13)

2008/02/17(Sun) 11:33:38 編集(投稿者)
2008/02/17(Sun) 11:33:16 編集(投稿者)

はじめまして。のぼりんと申します。よろしくお願いします。

さて、「Σ[k=1..∞]が絶対収束」とのことですが、単なる和記号であり収束の議論は不可能に思われます。 $2$ \sum\limits_{k = 1}^\infty {b_k }$ の脱字かと思われますので、その様に解釈して回答します。

$2$ \exists n \in {\bf N}: k \ge n \Rightarrow \left| {a_k } \right| < 1$ です。
$2$ \begin{array}{l} & \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left| {a_k b_k } \right|} \le \sum\limits_{k = 1}^n {\left| {a_k b_k } \right|} + \sum\limits_{k = n + 1}^\infty {\left| {a_k } \right|\left| {b_k } \right|} \\ & \le \sum\limits_{k = 1}^n {\left| {a_k b_k } \right|} + \sum\limits_{k = n + 1}^\infty {\left| {b_k } \right|} < \infty \\ \end{array}$
だから、 $2$ \sum\limits_{k = 1}^\infty {a_k b_k }$ は絶対収束します。

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■31697 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 級数の収束の命題の証明

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□投稿者/ mmm 一般人(3回)-(2008/02/23(Sat) 08:28:33)

有難うございます。お陰様で無事解決致しました。

解決済み!

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