 | 2008/02/19(Tue) 09:56:07 編集(投稿者)
nが奇数の時
I(m,n)＝(n-1)/(m+1)・I(m+2,n-2)
I(m,n)＝(n-1)!!(m-1)!!/(m+n-2)!!・I(m+n-1,1)
I(m+n-1,1)=∫_{0〜π/2}sin^(m+n-1)xcosxdx=∫_{0〜1}t^(m+n-1)dt
=1/(m+n)
I(m,n)＝(n-1)!!(m-1)!!/(m+n)!!
特にmも奇数の時はベータ関数の式になります。
mが奇数の時も同様です。
2)n,mが偶数の時
I(m,n)＝(n-1)!!(m-1)!!/(m+n-1)!!・I(m+n,0)
I(m+n-1,0)=∫_{0〜π/2}sin^(m+n)xdx=1/4∫_{0〜2π}sin^(m+n)xdx
z=e^(ix)と変数変換し、Cを単位円を左周りに回る経路とすると、
(-1)^((m+n)/2)1/(4i)∫_C(z-1/z)^(m+n)/2^(m+n)/zdz
(z-1/z)^(m+n)/zの留数は、
(m+n)!/{[(m+n)/2]!}^2(-1)^((m+n)/2)=2^((m+n)/2)(-1)^((m+n)/2)
これを代入すると、=π/2^((m+n)/2+1)
よって
I(m,n)＝π(n-1)!!(m-1)!!/{(m+n-1)!!・2^((m+n)/2+1)}
計算はお確かめ下さい。
ちなみにこれ以上まとめるのが面倒だったので、Mathematicaで計算した答えを書いておきます。Γ関数を用いると結果をまとめることができて、
Γ((1+m)/2)Γ((1+n)/2)/[2Γ((2+m+n)/2)]だそうです。
|
