数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 数列の極限 / Page: 0]

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■31465 / inTopicNo.1)

　数列の極限

□投稿者/ kyo 一般人(1回)-(2008/02/13(Wed) 10:26:38)

cを与えられた2＜cの定数とするとき、漸化式
a[1]=c、a[n+1]=(a[n]+2/a[n])/2
によって定められる数列{a[n]}について、lim(n→∞)a[n]を求めよ。

解説に、「a[n]＞0なので、a[n+1]≧√2である。そこでb[n]=a[n]-√2とおくと～」とあるのですが、どうしてa[n]＞0、a[n+1]≧√2なのかがわからないです。それから「そこでb[n]=a[n]-√2とおくと」というのですが、どうしてa[n+1]≧√2だとb[n]=a[n]-√2とおくのかが全然理解できないです。b[n+1]=(b[n])^2/2(b[n]+√2)＜b[n]/2という不等式が上の～以降に出てくるのですが、この不等式もわかりません。誰か教えてくださらないでしょうか？宜しくお願いします。

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■31470 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列の極限

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□投稿者/ サボテン軍団(141回)-(2008/02/13(Wed) 11:31:15)

a[n+1]≧√2であることは、a[n]>0であることから、相加相乗平均の式を用いると示すことができます。

b[n]=a[n]-√2とおいたのは、b[n]が0に収束することを示したいためです。
答えがある程度分かっているからできるテクニックですね^^;

b[n+1]=(b[n])^2/2(b[n]+√2)＜b[n]/2の式はb[n]≧0ですから、
b[n]/(b[n]+√2)<1となることを用いています。

参考：収束することが分かっていれば、答えは
a[n+1]=(a[n]+2/a[n])/2
より、a[n+1]=a[n]=x
と置いて、
2x=x+2/x より、x=√2と求まります。

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■31473 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 数列の極限

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□投稿者/ ハロー一般人(6回)-(2008/02/13(Wed) 11:36:25)

まず最初の疑問については相加・相乗平均です。
つぎにb[n]=a[n]-√2にする理由ですが、この数列a[n]が
√2に収束することは実は初めからわかっているからです。
全部を言ってしまうともったいない問題なので
ヒントだけ載せておきます。
1.関数
2.はさみうち
1.の関数が分かりにくいと思うので、何のことかというと
f(x)=x,g(x)=x/2+2/xの二つの関数のことでこのグラフを自分で書いてみて下さい
やってみると少しは不等式の理由なども分かってくると思います。
引き続き頑張って下さい。

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■31474 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 数列の極限

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(74回)-(2008/02/13(Wed) 11:38:36)

> 解説に、「a[n]＞0なので、a[n+1]≧√2である。そこでb[n]=a[n]-√2とおくと～」とあるのですが、どうしてa[n]＞0、a[n+1]≧√2なのかがわからないです。

$2$a_1>c>0$ であるので $2$a_2=\frac{a_1}{2}+\frac{1}{a_1}>0$ です。これから帰納的に $2$a_3>0,a_4>0,...$ となります。

よって $2$a_n>0$ がいえました。なぜこれを考えるかというと与えられた漸化式の形から『相加相乗関係』が使えるのではないかと思うためです。（相加相乗では正数に関して成り立つものなので）
これを用いて
$2$a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{2}{a_n})\geq \frac{1}{2}\times 2\sqrt{a_n\frac{2}{a_n}}=\sqrt{2}$

を得ることができます。

>それから「そこでb[n]=a[n]-√2とおくと」というのですが、どうしてa[n+1]≧√2だとb[n]=a[n]-√2とおくのかが全然理解できないです。b[n+1]=(b[n])^2/2(b[n]+√2)＜b[n]/2という不等式が上の～以降に出てくるのですが、この不等式もわかりません。

b[n+1]=(b[n])^2/{2(b[n]+√2)}は

$2$a_{n+1}=\frac{{a_n}^2+2}{2a_n}$ に $2$a_n=b_n+\sqrt{2},a_{n+1}=b_{n+1}+\sqrt{2}$ を代入した結果です。

(b[n])^2/2(b[n]+√2)＜b[n]/2

は分母が小さいほど全体しては大きくなるので

$2$\frac{{b_{n}}^2}{2(b_n+\sqrt{2})}<\frac{{b_{n}}^2}{2b_n}=\frac{b_n}{2}$

です。 $2$b_n>0$ であることも注意してください。
この結果から $2$\lim b_n=0$ がいえますので、 $2$\lim a_n=\sqrt{2}$

ところで、このような書き方をしてもあまりすっきりしないかもしれません。
なぜ、 $2$b_n=a_n-\sqrt{2}$ とおいたのか？が不明瞭で、この問題ではこうすればよかったで片付けるにはあまりに結果的すぎます。

実は $2$b_n=a_n-\sqrt{2}$ とおいた（特におく必要もないですが）理由も考える必要がありますね。

もし、 $2$\lim a_n=\alpha$ なら $2$\lim a_{n+1}=\alpha$ です。よって $2$a_n$ が極限値をもつならば
漸化式
$2$a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}$ の両辺に極限をとり、
$2$\alpha=\frac{\alpha}{2}+\frac{1}{\alpha}$ となり、これを解けば $2$\alpha=\sqrt{2}$ となります。

よって $2$\lim a_n=\sqrt{2}$ ではないかと検討がつくわけです。

しかも、（極めて数学的ではないですが）このような試験問題で極限値を求めよという場合は９割方、極限値があるだろうと思うとすべきことが見えてきます。

模範解答では
$2$\lim b_n=0$ を示すことで $2$\lim a_n=\sqrt{2}$ というものですが
直接
$2$\lim |a_n-\sqrt{2}|=0$ を示しても構いませんし、そちらのほうが個人的にはよく見る方法だと思います。

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■31475 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 数列の極限

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□投稿者/ ハロー一般人(7回)-(2008/02/13(Wed) 11:39:22)

>>サボテンさん
すいません。またかぶってしまいました。

>>kyoさん
削除の仕方が分からないので残しておきますが、
こっちの返信は無視して頂いて構いません。

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■31509 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 数列の極限

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□投稿者/ kyo 一般人(3回)-(2008/02/14(Thu) 09:41:27)