 | 1. x^2=X y^2=Yとおけば、与式はX^2+4XY-5Y^2となるので、
(X+5Y)(X-Y)と因数分解できます。あとはXをxに、Yをyに直してください。
分かり易いように遠回りにやりましたが、途中の置き換えは慣れれば
頭の中で出来るので演習を重ねて下さい。
3. 2よりも先にこっちを説明します。
(1) y=(x-1)^2-1 頂点(1,-1) 最大値なし 最小値-1
(2) y=-2(x-3)^2+4 頂点(3,-4) 最大値4 最小値なし
いわゆる平方完成と呼ばれる操作です。
一般に放物線はy=ax^2+bx+cのように書くことが出来ます。
これをy=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4aとする操作が平方完成です。
何故このような操作をするのかと言うとyはxについての関数なので、
ｘの２次と１次の項を()^2の中に無理やり入れてしまうことで
関数全体の挙動を分かりやすくしたいからです。
最大値や最小値がなしになっていたり、
頂点がどのように出ているかを上を参考にしながら
教科書などを使って考えてみてください。
2. 実数解を持つという条件の意味を考えましょう。
まず与えられた方程式をそのまま考えると、解の公式を使ってxの解が出せます。
これが実数解であるためには、√の中身が０以上でなければなりません。
(０以下の場合を虚数解といいます。)これはいちいち解の公式を
使うのは面倒なので判別式という道具を使うことで簡単に処理できます。
これも教科書で探してみてください。
次に、方程式の左辺だけをxについての関数f(x)と考えると
f(x)=0を満たす実数xが存在するようなkの範囲を考えればよい、
すなわちxy平面の中でf(x)がy軸と交われば、交われば良いことになります。
これは3の問題がｷﾁﾝと理解できれば、わかる考え方だと思います。
(これは判別式の方法と本質的に同じ事です)
また少し難しい発想ですが、方程式をk=-3x^2-2xに直してから、
左辺をg(x)、右辺をf(x)と置き、この２つの関数が
xy平面で交点を持つようなkの範囲を考えても答えは出ます。
この考え方のメリットが分かるようになればＯＫです。
長くなりましたが、頑張ってみてください。
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