数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 逆行列 / Page: 0]

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■31436 / inTopicNo.1)

　逆行列

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□投稿者/ アノマロカリス一般人(1回)-(2008/02/12(Tue) 00:50:17)

二つの列ベクトルx→、y→が1次独立のとき、2次の正方行列(x→,y→)は逆行列を持つことを証明しなさい。

どうやるのか全然わかりません。どなた様かお願いします。

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■31438 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 逆行列

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□投稿者/ ウルトラマン一般人(3回)-(2008/02/12(Tue) 02:50:24)

アノマロカリスさん，こんばんわ。
> 二つの列ベクトルx→、y→が1次独立のとき、2次の正方行列(x→,y→)は逆行列を持つことを証明しなさい。
>
> どうやるのか全然わかりません。どなた様かお願いします。

$2$ \vec{x}=\left(\begin{array}{c}a \\ b\end{array}\right), \vec{y}=\left(\begin{array}{c}c \\ d\end{array}\right)$
とおくと，仮定より
$2$ \alpha\vec{x}+\beta\vec{y}=\vec{0} \\ \Longleftrightarrow \alpha\left(\begin{array}{c}a \\ b\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{c}c \\ d\end{array}\right)=\vec{0} \\ \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a\alpha+c\beta=0 \\b\alpha+d\beta=0\end{array}\right. \\ \Longleftrightarrow \left(\begin{array}{cc}a & c \\ b & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right)$
が $2$\alpha=\beta=0$ 以外の解を持つから，
$2$ ad-bc\ne 0$
よって， $2$2$ 次の正方行列
$2$ A=\left(\begin{array}{cc}a & c \\ b & d\end{array}\right)$
は逆行列をもつことになります。

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■31439 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 逆行列

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□投稿者/ 七一般人(32回)-(2008/02/12(Tue) 04:07:50)

2008/02/12(Tue) 09:08:26 編集(投稿者)
2008/02/12(Tue) 04:08:55 編集(投稿者)

(x→,y→)(α，β)＝(0，0) が
α＝β＝0 以外の解をもつのは
行列 (x→,y→) が逆行列をもたないとき
ではありませんか？
単に x→,y→ が一次独立だから
ad－bc≠0
でいいのではないでしょうか？

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■31501 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 逆行列

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□投稿者/ ウルトラマン一般人(4回)-(2008/02/14(Thu) 01:17:53)

すみません。なんか勘違いしてました。

>
> (x→,y→)(α，β)＝(0，0) が
> α＝β＝0 以外の解をもつのは
> 行列 (x→,y→) が逆行列をもたないとき
> ではありませんか？
> 単に x→,y→ が一次独立だから
> ad－bc≠0
> でいいのではないでしょうか？

その通りです。
$2$ \left(\begin{array}{cc}a & c \\ b & d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right)$
が $2$(\alpha,\beta)=(0,0)$ の解をもつから，行列
$2$ \left(\begin{array}{cc}a & c \\ b & d\end{array}\right)$
は逆行列をもち，
$2$ ad-bc\ne 0$
よって，
$2$ A=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right)$
は逆行列をもつ…
って結論するのが正解です。

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■31503 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 逆行列

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□投稿者/ 七一般人(33回)-(2008/02/14(Thu) 02:01:56)

こういうつもりでしたが

629×362 => 250×143

1202922116.jpg/22KB

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■31516 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 逆行列

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□投稿者/ 七一般人(35回)-(2008/02/14(Thu) 12:24:31)

念のため

851×395 => 250×116

1202959471.jpg/43KB

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■31555 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 逆行列

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□投稿者/ ウルトラマン一般人(5回)-(2008/02/15(Fri) 21:11:07)

七さん，レスありがとうございます。

線形代数学の立場から言えば， $2$\vec{x},\vec{y}$ が $2$1$ 次独立であることの定義は
$2$ \alpha\vec{x}+\beta\vec{y}=\vec{0}\Longrightarrow \alpha=\beta=0$
です。
なので，添付の解説の $2$\vec{x},\vec{y}$ は $2$1$ 次独立だから，
$2$ \vec{x}=\left(\begin{array}{c}a \\ b\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right), \vec{y}=\left(\begin{array}{c}c \\ d\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right),$
かつ $2$\vec{x}$ と $2$\vec{y}$ は平行でない。
よって， $2$ad-bc\ne 0$
と結論するのは，ちょっと理論にギャップがあるかと思いますが，いかがでしょうか？

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■31563 / inTopicNo.8)

　Re[1]: 逆行列

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□投稿者/ miyup 大御所(308回)-(2008/02/15(Fri) 23:30:38)

2008/02/16(Sat) 11:09:19 編集(投稿者)

■No31436に返信(アノマロカリスさんの記事)
> 二つの列ベクトルx→、y→が1次独立のとき、2次の正方行列(x→,y→)は逆行列を持つことを証明しなさい。

対偶の証明ではどうでしょうか

「2次の正方行列(x→,y→)が逆行列を持たないとき、二つの列ベクトルx→、y→は1次独立でない」ことを示せ。

$2$\vec{x}=\left(\begin{array}{c}a \\ b\end{array}\right)\ne\left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right)$ 、 $2$\vec{y}=\left(\begin{array}{c}c \\ d\end{array}\right)\ne\left(\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right)$ とおくとき
行列 $2$\left(\begin{array}{c}a & c \\ b & d\end{array}\right)$ が逆行列をもたない⇔ $2$ad-bc=0$
i) $2$c=0$ のとき $2$ad=0$ → $2$a=0$ で $2$\vec{x}=\frac{b}{d}\vec{y}$
ii) $2$d=0$ のとき $2$bc=0$ → $2$b=0$ で $2$\vec{x}=\frac{a}{c}\vec{y}$
iii) $2$c\ne 0,d\ne 0$ のとき $2$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k$ とおくと、 $2$a=ck,b=dk$ で $2$\vec{x}=k\vec{y}$

以上より、∴ $2$\vec{x},\vec{y}$ は一次独立でない。

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