 | 2008/02/11(Mon) 21:16:02 編集(投稿者)
■No31413に返信(ぐるるさんの記事)
> 数列｛an｝がa1=5,a(n+1)=2(an)^2-12an+21によって定義されている。
> （１）すべての自然数ｎに対して、an＞３であることを示せ。
a[n+1]＝2a[n]^2-12a[n]+21 から
a[n]-3＝2a[n-1]^2-12a[n-1]+18=2(a[n-1]-3)^2≧0 (k≧2)
ここで y=2(x-3)^2+3 は x≧5 で増加関数であるから a[n]≠3
以上より、a[n]＞3
> （２）bn=log｛底2の(an-3)｝とおくとき、b1を求めよ。また、b(n+1)をbnで表せ。
b[n]＝log[2](a[n]-3) とおくと、b[1]＝log[2](a[1]-3)＝1
a[n+1]-3＝2(a[n]-3)^2 より両辺底２の対数をとって
log[2](a[n+1]-3)＝2log[2](a[n]-3)+1
∴ b[n+1]=2b[n]+1
> （３）bnをnで表せ。またanをnで表せ。
b[n+1]+1＝2(b[n]+1) と変形できて
b[n]+1＝(b[1]+1)・2^(n-1) ∴b[n]＝(2^n)-1
b[n]＝log[2](a[n]-3) から a[n]-3＝2^(b[n]) ∴ a[n]＝2^((2^n)-1)+3
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