 | 『 分割した時の数字iの個数をLiとおき、∑_[i=1, n] (i * Li) = n かつ Li ≧ 0 を満たすという条件の下で
(∑_[i] Li)! / (Π_[i] (Li!) ) 』 の最大値
を式として導出できるかではなく
『 … 』 が最大値をとるときの L1, L2, ..., Ln の各々の値
を式として導出できるかということです。
いずれにしても式で表した方がわかりやすかったと思います。
すみませんでした。
整理すると、本質問は
「制約条件 ∑_[i=1,n](i * Li) = n かつ Li ≧ 0 の下で
関数 f(L1, L2, …, Ln) = (∑_[i] Li)! / (Π_[i] (Li!) ) ･･･(式1)
が最大値をとるときの L1, L2, ..., Ln をnを用いた式で表せられるか。
表せられればその式を求めよ。表せられなければその理由を説明せよ。」
というものになるかと思います。以下に自分なりの解を載せます。
[解]
(式1)が上記の制約条件の下で最大値をとるときの L1, L2, ..., Ln を求めることを考える。
関数fを微分可能にするため、ガンマ関数Γ(x)を使って連続化する。
（8/25 11:15訂正）自然数nについて Γ(n+1) = n! が成り立つので、(式1)は
f(L1, L2, …, Ln) = Γ(1 + L1 + L2 + … + Ln) / (Γ(1 + L1) * Γ(1 + L2) * … * Γ(1 + Ln) ) ･･･(式2)
と変形できる。
ここで、ラグランジュの未定乗数法を利用すると、L1, L2, ..., Ln の解を求めるには
L↑ = [L1, L2, …, Ln]^t (L↑はn項列ベクトル)とおき、変数λを用いて
F(L↑, λ) = f(L↑) - λ * (∑_[i=1, n](i * Li) - n) ･･･(式3)
に関する極値条件
∂F/∂Li = ∂f/∂Li - i * λ = 0 (i = 1, 2, …, n) ･･･(式4)
∂F/∂λ = -(∑_[i=1,n](i * Li) - n) = 0 ･･･(式5)
を連立させて解けばよい。
ここで ∂f/∂Li を計算すると
∂f/∂Li = f * { ( (∂/∂Li) Γ(1 + L1 + L2 + … + Ln) ) / Γ(1 + L1 + L2 + … + Ln) -
( (d/dLi) Γ(1 + Li) ) / Γ(1 + Li) }
= f * { Γ'(1 + L1 + L2 + … + Ln) / Γ(1 + L1 + L2 + … + Ln) - Γ'(1 + Li) / Γ(1 + Li) } ･･･(式6)
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