 | ＞＞n/1, n+1/2, n+2/3, n+3/4, n+4/5,・・・
を
n/1, (n+1)/2, (n+2)/3, (n+3)/4, (n+4)/5,・・・
のタイプミスと見て解答します。
上記の数列の第k項は
(n+k-1)/k=1+(n-1)/k
従って、題意を満たすためにはn-1の約数が3個でなければなりません。
ここである自然数Nの約数の個数と素因数との関係を調べると
(i)Nの素因数が１つ、つまりNが素数の場合
約数は1,Nの2個
(ii)Nの異なる素因数がl個(l≧2)の場合
約数は2^l個
つまり少なくとも4個以上
(iii)N=M^l(Mは素数、lは2以上の自然数)のとき
約数はl+1個
つまり少なくとも3個以上
以上から条件を満たすのは
n-1=N^2
(Nは任意の素数)
の場合のみになります。
よって求める条件は
n=N^2+1 (Nは任意の素数)
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