 | 2008/02/07(Thu) 18:09:52 編集(投稿者)
問題の球の内、Vの側面で切られる外側の4つの円盤状の立体の体積(その１つをV1とします)を
求めることを考えます。
そこでまず、球の中心と側面との間の距離を求めます。
(1)の結果からVの高さはa/√2であることに注意して、
Vの天頂と球の中心を通り、底面の向かい合う二辺に垂直な平面でVと球を切った断面を考えます。
この断面において、天頂をA、Vの底面の断面に当たる辺の両端の一方をB、球の中心をO、Oから辺ABに下ろした垂線の足をCとします。すると
△OAB∽△OBC
ですので
AB:OB=OA:OC (A)
一方
OA=a/√2 (B)
OB=a/2 (C)
更に三平方の定理により
AB=√(OB^2+OA^2)=(a/2)√3 (D)
(A)(B)(C)(D)より
OC=a/√6
よって
V1=∫[a/√6→a/2]π[√{(a/2)^2-x^2}]^2dx
=…
このV1を用いると求める体積をWとしたとき
W=(半球の体積)-(切れっ端の体積)
=(1/2)(4π/3)(a/2)^3-4V1
で計算できます。
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