数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 数学　漸化式 / Page: 0]

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■31276 / inTopicNo.1)

　数学　漸化式

□投稿者/ 幸一一般人(1回)-(2008/02/06(Wed) 00:18:52)

数列｛a[n]｝が
a[n]=1,a[2n]=a[2n－1],a[2n＋1]=a[2n]＋2^(n－1)(n=1,2,3,・・・)
で定義されるとき

(1)a[2n],a[2n＋1]を求めよ

(2)∑[k=1→2n](a[k])を求めよ

どなたかよろしくお願いします

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■31278 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数学　漸化式

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(68回)-(2008/02/06(Wed) 11:16:38)

2008/02/06(Wed) 23:55:54 編集(投稿者)

$2$a_n=1$ は $2$a_1=1$ の間違いですよね？

$2$a_{2n+2}=a_{2n+1}=a_{2n}+2^{n-1}$ ですので
漸化式
$2$a_{2n+2}=a_{2n}+2^{n-1}$
を解きましょう。
わかりにくければ $2$b_n=a_{2n}$ とおくとよいです。

(2)は
$2$\displaystyle \sum_{k=1}^{2n}a_k=\sum_{k=1}^{n}a_{2k-1}+\sum_{k=1}^{n}a_{2k}$
であることを利用しましょう。

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■31287 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数学　漸化式

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□投稿者/ 幸一一般人(2回)-(2008/02/06(Wed) 22:02:31)

ご回答ありがとうございます
けれども私の勉強不足のためそこまでかいてもらってもよくわかりません
よければ最後までかいえもらってよろしいでしょうか

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■31291 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数学　漸化式

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(70回)-(2008/02/06(Wed) 23:55:13)

$2$b_1=a_2=a_1=1$ なので
$2$b_{n+1}=b_n+2^{n-1}$

$2$n\geq 2$ のとき

$2$b_n=1+\frac{2^{n-1}-1}{2-1}=2^{n-1}$

(これは $2$n=1$ のときも成り立つ。)

よって

$2$a_{2n}=2^{n-1}$
$2$a_{2n+1}=a_{2n+2}=2^n$

(2)は
$2$a_{2n}=a_{2n-1}=2^{n-1}$ が成立するので
$2$a_{2n-1}+a_{2n}=2^n$

$2$\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}a_k=\sum_{k=1}^{n}(a_{2k-1}+a_{2k})=\sum_{k=1}^{n}2^k$

となります。

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■31292 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数学　漸化式

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□投稿者/ 幸一一般人(3回)-(2008/02/07(Thu) 01:23:22)

ありがとうございました

解決済み!

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