数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 逆関数【数Ⅲ】 / Page: 0]

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■31083 / inTopicNo.1)

　逆関数【数Ⅲ】

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□投稿者/ ゆう一般人(1回)-(2008/01/29(Tue) 18:48:07)

はじめまして。
高校の数学は一通り習ったつもりではいるのですが、数Ⅲの「逆関数」とは何のために存在するのでしょうか？
その逆関数を知ることによってその後の何に役立つのでしょうか？
教えていただけると幸いです。
宜しくお願いします。

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■31085 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 逆関数【数Ⅲ】

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□投稿者/ Setsu 一般人(8回)-(2008/01/29(Tue) 19:20:54)
http://www.setsu.info/software/q99.htm

2008/01/29(Tue) 21:59:30 編集(投稿者)

■No31083に返信(ゆうさんの記事)
> はじめまして。
> 高校の数学は一通り習ったつもりではいるのですが、数Ⅲの「逆関数」とは何のために存在するのでしょうか？
> その逆関数を知ることによってその後の何に役立つのでしょうか？
> 教えていただけると幸いです。
> 宜しくお願いします。
僕の理解ですが、ご参考するまで：
将来の仕事の分野によって、逆関数でもよく使う場合があります。
例え①、ノイズの強さを表現する単位はデシベル（LOG）なんですが、ノイズの振幅をデシベルから普通の電圧値を求める時に、LOGの逆関数を使います。
例え②、プログラマの仕事についている場合、π（3.14...）をプログラムに打ち込む時に、精度（小数何桁まで）に悩むならば、tanの逆関数atanを入力すれば悩まずに仕事を進められます。ちなみにπ=atan(1.0) * 4
以上

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■31086 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 逆関数【数Ⅲ】

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(55回)-(2008/01/29(Tue) 19:27:27)

$2$f(x)$ の逆関数は $2$x$ について解けないことがあります。

たとえば
$2$y=2x+1$ などは $2$x=\frac{y-1}{2}$ と $2$x$ について解けますが、

$2$y=\frac{\sin x}{1+x^2}$ などは $2$x=.....$ と高校の範囲では $2$x$ について解けません。

ですが、 $2$f(x)$ の逆関数 $2$g(x)$ を考えることで $2$g(x)$ の積分、微分を考えることができます。 $2$g(x)$ の具体的な表示はわからない場合でも積分値などの計算ができるわけです。

高校数学を学んで、この内容がどのように役にたつのかと疑問にもつことは非常にすばらしいことです。その答えは勉強してすぐわかるものとは限りませんが、これからも興味をもってぜひ学習してください。

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■31089 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 逆関数【数Ⅲ】

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□投稿者/ ゆう一般人(3回)-(2008/01/29(Tue) 22:13:27)

■No31086に返信(モノトーン・コンバージェンスさんの記事)
> $2$f(x)$ の逆関数は $2$x$ について解けないことがあります。
>
> たとえば
> $2$y=2x+1$ などは $2$x=\frac{y-1}{2}$ と $2$x$ について解けますが、
>
> $2$y=\frac{\sin x}{1+x^2}$ などは $2$x=.....$ と高校の範囲では $2$x$ について解けません。
>
> ですが、 $2$f(x)$ の逆関数 $2$g(x)$ を考えることで $2$g(x)$ の積分、微分を考えることができます。 $2$g(x)$ の具体的な表示はわからない場合でも積分値などの計算ができるわけです。
>
> 高校数学を学んで、この内容がどのように役にたつのかと疑問にもつことは非常にすばらしいことです。その答えは勉強してすぐわかるものとは限りませんが、これからも興味をもってぜひ学習してください。

ご両方とも、ご返答くださいまして有難うございます。

モノトーン・コンバージェンスさんに再度質問させていただきたいのですが、

ぜひ、 $2$y=\frac{\sin x}{1+x^2}$ の逆関数の例で微分や積分の解答を紹介していただけないでしょうか？
私は今高２で、数Ⅲはちょうど置換積分を習っていますので是非教えていただきたいです。
宜しくお願いします。

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■31092 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 逆関数【数Ⅲ】

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(56回)-(2008/01/30(Wed) 00:42:28)

申し訳ないです、 $2$y=\frac{\sin x}{x^2+1}$ はある定義域において逆関数をもちますがこの関数は私が勝手に考えたものですので、実際に微分の計算をすることを考えて、別の例を挙げます。

$2$f(x)=2\sin \frac{x}{2}$ の逆関数 $2$g(x)$ を考えます。ただし、 $2$(-\pi<x<\pi)$ とします。もちろん、 $2$x=....$ のようには変形することはできません。

$2$g(x)$ の微分を求めてみましょう。
使うのは逆関数の公式である $2$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ を用います。
$2$y=g(x)$ とおくと
逆関数の定義から
$2$g(x)=2\sin \frac{y}{2}$

$2$\frac{dx}{dy}=\cos \frac{y}{2}=\sqrt{1-\sin ^2({\frac{y}{2})}}$
となりますので
$2$g'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{4-x^2}}$
もちろん、どの関数もこの方法で逆関数の微分が求まるわけではありませんが例として手ごろなものは三角関数などですね。

特に、逆関数は定義域に注意する必要があります。いつでも逆関数があるわけではなく、値域と定義域の一対一対応が条件となりますが、そこまで深く聞かれる問題はあまりなく、内容としては大学数学のほうに近いように個人的には感じます。（東京大学の問題ではありましたが・・・）

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■31093 / inTopicNo.6)

　Re[1]: 逆関数【数Ⅲ】

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□投稿者/ 七一般人(17回)-(2008/01/30(Wed) 01:25:33)

数学自体何の役に立つのかよく分かりません。

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■31095 / inTopicNo.7)

　Re[2]: 逆関数【数Ⅲ】

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□投稿者/ miyup 大御所(261回)-(2008/01/30(Wed) 08:52:19)

2008/01/30(Wed) 08:55:50 編集(投稿者)

■No31093に返信(七さんの記事)
> 数学自体何の役に立つのかよく分かりません。

数学を１つのものとしてとらえるのではなく
　直接役に立っている数学の分野
　間接的に役に立っている数学の分野
　役に立つんだかなんだかわからない数学の分野
　その他(？)
と分けてみるとよいのではないでしょうか。どこが役に立つのかは人それぞれでしょう。
また、中学数学・高校数学・大学数学も、それぞれ意味合いが違うと思います。

わたし自身は、数学が役に立つか立たないかについては、どうでもいい派です。

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■31096 / inTopicNo.8)

　Re[3]: 逆関数【数Ⅲ】

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□投稿者/ Ｎ一般人(33回)-(2008/01/30(Wed) 09:10:12)

数学が何の役に立つかと言うことが疑問でしたら、逆に何故数学が生まれたのか？ということを考えていってはいかがでしょう？
上垣渉さんの「初めて読む　数学の歴史」と言う本は、数学史の本としては玉だと、私は思いますので、その辺の本を当たってみるのも面白いかも知れませんね。
何故数学が大切なのか、その分からない答えを見つけるために数学（等）を勉強する…というのもかっこいいかも知れません。

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■31101 / inTopicNo.9)

　Re[4]: 逆関数【数Ⅲ】

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□投稿者/ ゆう一般人(4回)-(2008/01/30(Wed) 14:56:18)

■モノトーン・コンバージェンスさんへ
詳細にありがとうございました。
よく理解できました。
今後また何かあれば宜しくお願いします。

あと、
解説の逆関数のところで、

> $2$g(x)=2\sin \frac{y}{2}$
ではなく、
$2$x=2\sin \frac{y}{2}$
の間違いですよね？？
気になったので一応報告まで。

解決済み!

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■31104 / inTopicNo.10)

　Re[5]: 逆関数【数Ⅲ】

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス付き人(57回)-(2008/01/30(Wed) 15:44:29)

すみません、誤植していますね。おっしゃるとおりです。
ご指摘ありがとうとございます。

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■31135 / inTopicNo.11)

　Re[6]: 逆関数【数Ⅲ】

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□投稿者/ ゆう一般人(5回)-(2008/01/31(Thu) 19:08:18)