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■30987 / inTopicNo.1)

　極限の問題

□投稿者/ ナゴ一般人(2回)-(2008/01/25(Fri) 18:34:29)

突然ですが、この問題の解説をお願いします。一応、(1)と(2)はできたのですが、念のため最初から解説してください。
〔問〕aをa＞1を満たす実数とする。
曲線Ｃ:y＝logx(自然対数)上の点Ｐ(t,logt)(a≦t≦a＋1)における接線lと2直線x＝a,x＝a＋1との交点をＱ,Ｒとし、曲線Ｃと2直線x＝a,x＝a＋1との交点をＡ,Ｂとする。
(1)接線lの方程式を求めよ。
(2)台形ＱＡＢＲの面積Ｓ(t)を最小にするtの値をαとする。αをaを用いて表せ。
(3)(2)のＳ(α)に対して、lim[a→∞]a^2Ｓ(α)を求めよ。

(携帯)

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■30991 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限の問題

▲▼■

□投稿者/ X 付き人(63回)-(2008/01/25(Fri) 19:13:55)

(1)
y=logx
より
y'=1/x
∴l:y=(1/t)(x-t)+logt
整理して
l:y=x/t-1+logt

(2)
(1)の結果を使うと、条件から
AQ=(a/t-1+logt)-loga
BR={(a+1)/t-1+logt}-log(a+1)
一方台形QABRの上底下底をAQ,QRとしたとき、高さは
(a+1)-a=1
∴S(t)=(1/2)(AQ+BR)
=a/t-1+logt+1/(2t)-(1/2)log{a(a+1)}
ゆえ
S'(t)=-a/t^2+1/t-1/(2t^2)
={2t-(2a+1)}/(2t^2)
a≦t≦a+1におけるS(t)の増減を考えて
α=a+1/2

(3)
(2)の結果より
S(α)=2a/(2a+1)-1+log(a+1/2)+1/(2a+1)-(1/2)log{a(a+1)}
=log{(a+1/2)/√{a(a+1)}}
∴lim[a→∞](a^2)S(α)
=lim[a→∞](a^2)log{(a+1/2)/√{a(a+1)}}
=lim[a→∞](a^2)log{(1+1/(2a))/√(1+1/a)}
ここで
1/a^2=h
と置くと
lim[a→∞](a^2)S(α)
=lim[h→+0]{(1/h)log{(1+(1/2)√h)/√(1+√h)}
∴f(x)=log{(1+(1/2)√x)/√(1+√x)}
とすると
lim[a→∞](a^2)S(α)=f'(0)
=…

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■30993 / inTopicNo.3)

　ありがとうございます

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□投稿者/ ナゴ一般人(3回)-(2008/01/25(Fri) 20:59:03)

ただ、(3)のヒントにはlim[x→∞](1＋1/x)^x＝e(自然対数の底)とあったのですが、どこでどうやって使うのでしょうか？

(携帯)

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■31009 / inTopicNo.4)

　Re[3]: ありがとうございます

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□投稿者/ X 付き人(65回)-(2008/01/26(Sat) 11:26:43)

でしたら
S(α)=lim[a→∞](a^2)log{(a+1/2)/√{a(a+1)}}
=lim[a→∞](1/2)(a^2)log{{(a+1/2)^2}/{a(a+1)}}
=lim[a→∞](1/2)(a^2)log{(a^2+a+1/4)/{a(a+1)}}
=lim[a→∞](1/2)(a^2)log{1+1/{4a(a+1)}}
=lim[a→∞](1/2)(a^2){1/{4a(a+1)}}log[{1+1/{4a(a+1)}}^{4a(a+1)}]
=lim[a→∞]{1/(8+1/a)}log[{1+1/{4a(a+1)}}^{4a(a+1)}]
=1/8([]の中にヒントの式を使う)
ですね。

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