 | y=x(x-1)^2 (A)
y=kx^2 (B)
とします。
(1)
(A)(B)の交点のx座標について
x(x-1)^2=kx^2
これより
x{x^2-(2+k)x+1}=0
∴
x=0
又は
x^2-(2+k)x+1=0 (C)
(C)の解の判別式をDとすると
D=(2+k)^2-4=k(k+4)>0 (∵)k>0
∴(C)は異なる二つの実数解を持ちます。
更に(C)はx=0を解に持ちませんので,
題意は成立します。
(2)
(C)の解をα,β(α<β)として(A)(B)のグラフの概形を描くと題意から
∫[0→α]{x(x-1)^2-kx^2}dx=∫[α→β]{kx^2-x(x-1)^2}dx
これより
∫[0→β]{x(x-1)^2-kx^2}dx=0
∴(1/4)β^4-(1/3)(k+2)β^3+(1/2)β^2=0
β≠0に注意すると
(1/4)β^2-(1/3)(k+2)β+1/2=0
3β^2-4(k+2)β+6=0 (D)
ここで(C)からβをkで表すと…。
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