 | (1)
a[n]=3a[n-1]+3^n
の両辺を3^nで割ると
a[n]/3^n=a[n-1]/3^(n-1)+1
∴a[n]/3^n=A[n] (A)
と置くと
A[n]=A[n-1]+1 (B)
であり、又a[1]=1により
A[1]=1/3 (C)
(B)(C)より
A[n]=1/3+(n-1)=n-2/3
これを(A)に代入して
a[n]=(n-2/3)・3^n=n・3^n-2・3^(n-1)
(2)
b[n]=a[n]+n-2
と置くと(1)の結果より
b[n]=n(3^n+1)-2{3^(n-1)+1}
∴kを自然数とすると
(i)n=2kのとき
b[n]=2k(9^k+1)-2{3^(2k-1)+1}
ここで
2k(9^k+1),2{3^(2k-1)+1}
はいずれも4の倍数ですので命題は成立。
(ii)n=2k-1のとき
b[n]=(2k-1){3^(2k-1)+1}-2{3^(2k-2)+1} (D)
ここで(D)の第二項の2{3^(2k-2)+1}は4の倍数。
又
3^(2k-1)+1=3・9^(k-1)+1
=3(8+1)^(k-1)+1
=3∑[j=0～k-1]{(k-1)Cj}8^j+1
(∵)二項定理より
=3∑[j=1～k-1]{(k-1)Cj}8^j+1+3{(j-1)C0}
=3∑[j=1～k-1]{(k-1)Cj}8^j+4
ですので(D)の第一項も4の倍数。
従ってこのときも命題は成立。
以上より、問題の命題は成立します。
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