 | 題意から
x[2]=x[1]
x[3]=x[2]-r^2
x[4]=x[3]
x[5]=x[4]+r^4
…
同様に
y[2]=x[1]+r
y[3]=y[2]
y[4]=y[3]-r^3
…
同様に考えるとx[n],y[n]に対し、次の漸化式が成立します。
x[2k]=x[2k-1] (A)
x[2k+1]=x[2k]+{(-1)^k}r^(2k) (B)
y[2k+1]=x[2k] (C)
y[2(k+1)]=y[2k+1]+{(-1)^k}r^(2k+1) (D)
(但しk=1,2,..)
(A)(B)(C)(D)を
(x[1],y[1])=(1,0)
(x[2],y[2])=(1,r)
の下で解きます。
x[n]だけ求めますので参考にしてy[n]は自分で求めてください。
(A)(B)より
x[2k+1]=x[2k-1]+{(-1)^k}r^(2k)
∴x[2k-1]=X[k]
と置くと
X[k+1]=X[k]+{(-1)^k}r^(2k)
∴X[k]=X[1]+∑[j=1～k-1]{(-1)^j}r^(2j)
=X[1]+∑[j=1～k-1](-r^2)(-r^2)^(j-1)
=X[1]+(-r^2){1-(-r^2)^(k-1)}/(1+r^2)
(∵)0<r<1ゆえr≠1
=1+(-r^2){1-(-r^2)^(k-1)}/(1+r^2)
(∵)X[1]=x[1]=1
∴(A)より
x[2k]=x[2k-1]=1+(-r^2){1-(-r^2)^(k-1)}/(1+r^2)
(要するにnが奇数か偶数かで場合分けが必要ということです。)
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