 | 2008/01/21(Mon) 22:18:15 編集(投稿者)
(1)
直線y=1上の点P(t,1)がlθ上の点Q(x,y)に移るとすると、
回転移動の行列を用いることにより
x=tcosθ-sinθ
y=tsinθ+cosθ
これよりtを消去して求める方程式は
xsinθ-ycosθ=1 (A)
別解)
問題の回転移動により直線y=1上の点(0,1)は
点(cos(θ+π/2),sin(θ+π/2))
つまり
点(-sinθ,cosθ)
に移動します。
lθはこの点を接点とする円x^2+y^2=1の接線
ということから求めます。
(2)
(A)と曲線
y=4-x^2
との交点のx座標をα,β(α<β)とすると、これらは
xsinθ-(4-x^2)cosθ=1
の解ですので解と係数の関係により
α+β=-tanθ (B)
αβ=-1/cosθ-4 (C)
一方
S(θ)=∫[α→β]{(4-x^2)-(xtanθ-1/cosθ)}dx (D)
(D)の積分を計算した結果に(B)(C)を用い、S(θ)をθで表します。
その計算結果のθに関する増減を考えるわけですが、
まともに微分すると計算が面倒です。そこで
1/cosθ=u
の置き換えをしてみましょう。
すると{S(θ)}^(2/3)はuの二次関数になります。
(1+(tanθ)^2=1/(cosθ)^2を使いましょう。)
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