数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 重積分です / Page: 0]

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■30889 / inTopicNo.1)

　重積分です

□投稿者/ radao 一般人(1回)-(2008/01/20(Sun) 23:36:55)

∬D e^(x^2+xy+y^2)dxdy D={(x,y)|x>0 , -x<y<x}　　
この広義積分をx+y=u,x-y=vとおいて、解け
という問題です。∫[0→∞]e^(-x^2)dx=(√π)/2 を使うそうですが解けません。
お願いします。

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■30891 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 重積分です

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス一般人(46回)-(2008/01/21(Mon) 00:07:12)

2008/01/21(Mon) 00:19:24 編集(投稿者)
2008/01/21(Mon) 00:17:06 編集(投稿者)

$2$u=x+y,v=x-y$ によってx,yで表された領域 $2$D$ および $2$e^{x^2+xy+y^2}$ がどう変換されるか考えましょう。

$2$F(x,y)=f(x)g(y)$ であるとき
$2$\displaystyle\int^{\infty}_0\displaystyle\int^{\infty}_0F(x,y)dxdy=(\displaystyle\int^{\infty}_0f(x)dx)(\displaystyle\int^{\infty}_0g(x)dx)$

です。

ただこの関数、 $2$lim_{x\rightarrow \infty}f(x,0)=\infty$ になるので、面積確定しない気がするのですが・・・間違ってたら申し訳ない。

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■30894 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 重積分です

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□投稿者/ radao 一般人(2回)-(2008/01/21(Mon) 00:46:10)

すみません
問題にミスがありました
∬D e^-(x^2+xy+y^2)dxdyでした。
がんばってみましたが
-(√π)/4∫[0→∞]e^(-3u^2/4)duになってしまいました
答えはπ/2√3になるそうですけど違いますよね。

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■30903 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 重積分です

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス一般人(47回)-(2008/01/21(Mon) 08:57:53)

> -(√π)/4∫[0→∞]e^(-3u^2/4)duになってしまいました
> 答えはπ/2√3になるそうですけど違いますよね。

-(√π)/4∫[0→∞]e^(-3u^2/4)du<0となりますのでおそらく違いますね。

u,vに変換よる変換により領域Dは $2$D'=\{(u,v)|u>0,v>0\}$ に移されます。

また、 $2$e^{-(x^2+xy+y^2)}=e^{-\frac{3}{4}u^2-\frac{1}{4}v^2}=e^{-\frac{3}{4}u^2}e^{-\frac{1}{4}v^2}$ です。

よって

$2$\displaystyle\int_{D}e^{-(x^2+xy+y^2)}dxdy=\displaystyle\int_{D'}e^{-\frac{3}{4}u^2-\frac{1}{4}v^2}dudv=\displaystyle\int^{\infty}_{0}e^{-\frac{3}{4}u^2}du \displaystyle\int^{\infty}_0 e^{-\frac{1}{4}u^2}du$

あとは置換積分を用いて

$2$\displaystyle\int^{\infty}_0e^{-\frac{x^2}{2}}dx$ が使える形にしてください。

また状況によって異なりますが、数学科など理論を重視する場合は上の変換が一対一に移される、など一言つけるべき場合もありますので、教科書などを参考にして下さい。

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