数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 極限値 / Page: 0]

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■30884 / inTopicNo.1)

　極限値

□投稿者/ Mio 一般人(1回)-(2008/01/20(Sun) 14:51:15)

12837極限値2008/01/17(Thu) 04:07:35 No.12837
次の極限値を求めなさい。
lim[n→∞] (n!)^2・2^2n/(2n)!・√n

ヒントにI[2n]=∫[0,π/2](sinx)^2ndxの利用を考えよとありましたのでこの漸化式をいろいろ変形したら、I[2n]=π・(2n)!/2・2^2n・(n!)^2となって問題の極限の式に似た形になったにですが、これをどう利用すればいいのかが全然わからないです。どなた様か教えてくださらないでしょうか。よろしくお願いします。

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■30885 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限値

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□投稿者/ だるまにおん一般人(9回)-(2008/01/20(Sun) 15:20:01)

一般にI[n]=((n-1)/n)I[n-2]より
nI[n]I[n-1]=(n-1)I[n-1]I[n-2]=・・・=I[1]I[0]=π/2

またI[n]は減少数列ゆえ
nI[n]I[n-1]＞nI[n]^2＞nI[n+1]I[n]
∴π/2＞nI[n]^2＞(n/(n+1))π/2
ハサミウチの原理よりlim[n→∞]nI[n]^2=π/2

以上より
lim[n→∞](2^(2n)(n!)^2)/((2n)!√n)
=lim[n→∞](π/2)/(√nI[2n])
=√π

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■30886 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 極限値

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□投稿者/ Mio 一般人(2回)-(2008/01/20(Sun) 17:21:17)

だるまにおんさま、早速の解説ありがとうございます。なんとなくわかってきたのですが、いくつか質問させてください。

＞I[n]は減少数列

I[n]が減少数列ってどうやってわかったんですか？帰納法で示そうとしたんですがうまくいきませんでした。

＞nI[n]I[n-1]＞nI[n]^2＞nI[n+1]I[n]

この不等式の意味がわかりません。どこから出てきたんでしょうか？

＞nI[n+1]I[n]=(n/(n+1))π/2

どうしてこうなるのかわかりません。

この三つを教えてください。お願いします。

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■30888 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 極限値

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□投稿者/ だるまにおん一般人(10回)-(2008/01/20(Sun) 20:38:03)

> ＞I[n]は減少数列
>
> I[n]が減少数列ってどうやってわかったんですか？帰納法で示そうとしたんですがうまくいきませんでした。

帰納法を使うまでもありません。0≦x≦π/2において
(sinx)^0≧(sinx)^1≧(sinx)^2≧(sinx)^3≧・・・(sinx)^(n-1)≧(sinx)^n≧(sinx)^(n+1)≧・・・
なので、0～π/2で積分すれば
I[0]＞I[1]＞I[2]＞I[3]＞・・・I[n-1]＞I[n]＞I[n+1]＞・・・
となりますね。

> ＞nI[n]I[n-1]＞nI[n]^2＞nI[n+1]I[n]
>
> この不等式の意味がわかりません。どこから出てきたんでしょうか？

I[n-1]＞I[n]＞I[n+1]の両辺にnI[n]をかけました。

> ＞nI[n+1]I[n]=(n/(n+1))π/2
>
> どうしてこうなるのかわかりません。

nI[n+1]I[n]={n/(n+1)}×(n+1)I[n+1]I[n]={n/(n+1)}×(π/2)

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■30900 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 極限値

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□投稿者/ Mio 一般人(3回)-(2008/01/21(Mon) 01:38:36)

解決しました！ありがとうございました♪

解決済み!

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