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■30874 / inTopicNo.1)

　数列の問題です。

□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス一般人(43回)-(2008/01/19(Sat) 17:00:08)

2008/01/19(Sat) 17:03:52 編集(投稿者)

ちょっと手づまってしまったので、手助けお願いします。

$2$y=\sqrt{x}$ 上に $2$P_1,P_2,...$ を、x軸上に $2$Q_0,Q_1,...$ を次の条件を満たすようなるようにとる。ただし $2$Q_0=(0,0)$ である。このとき $2$P_n$ のx座標 $2$x_n$ を求めよ。

条件：全ての自然数 $2$n$ に対して、△ $2$Q_{n-1}P_{n}Q_n$ が正三角形である。

一応、解いたところまで書くと
$2$x_1=\frac{1}{3}$

であることを求め、
$2$x_n,x_{n+1}$ の関係式を求めました。

下図において

$2$H_{n+1}H_n=x_{n+1}-x_n$

$2$H_nQ_n+Q_nH_{n+1}=\sqrt{\frac{x_{n}}{3}}+\sqrt{\frac{x_{n+1}}{3}}$

よって $2$x_{n+1}-x_n=\sqrt{\frac{x_{n}}{3}}+\sqrt{\frac{x_{n+1}}{3}}$
・・・

これから、漸化式を解くことができませんでした。

わかる方よろしくお願いします。

287×178 => 250×155