 | 2008/01/18(Fri) 20:35:18 編集(投稿者)
具体例で説明します。
5Ｃ3 とは・・５つの異なったものから、３つ抜き出してできる組み合わせ(部分集合)の個数ですね。
いま、{ａ,ｂ,ｃ,ｄ,ｅ}の５つのものから、３つのものを抜き出す抜き出し方の数を求めてみます。
１つずつ３つのものを抜き出して順に並べるとします。
a-b-c ,a-b-d,a-b-e ,・・・・・・等等
この場合、１つ目は５通りあり、
２つ目は、残り４つのうちの１つから選ぶから ４通り
３つ目は、残り３つのうちの１つから選ぶから ３通り
よって、５つのものから３つ取り出して並べる並べ方は、５×４×３（通り）あります。これが順列の数ですね。（5Ｐ3）
ただし、このなかで
a-b-c ,a-c-b ,b-a-c ,b-c-a ,c-a-b ,c-b-a
の６通りが違うものとして数えられていますが、抜き出し方としてはみな同じです。（{a,b,c}という組み合わせ）
5×4×3 通りのなかには、同じように１つの組み合わせになるものが６通りずつ含まれているので、組み合わせの数は、(5×4×3)/6 で求められます。
この６通りの６は、３つのものの並べ替え方の数だから 3×2×1＝６ でもとまります。よって、5Ｃ3＝(5×4×3)/(3×2×1) となります。
7Ｃ4 であれば、
７つから４つ抜き出して並べる（順列）並べ方は、7×6×5×4 通り
４つのものの並べ替え方の数は、4×3×2×1 通り
よって、7Ｃ4＝(7×6×5×4)/(4×3×2×1) となります。
同様にすると、8Ｃ3＝(8×7×6)/(3×2×1) となります。
一般には、nＣr＝ｎ!/{r!・(n-r)!} で表されます。
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