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■30799 / inTopicNo.1)

　対数計算について・・・[数学Ⅱ]

□投稿者/ 早稲田志望一般人(1回)-(2008/01/17(Thu) 15:33:54)

こんにちは。僕は高校辞めて自習で数学を進めているのですが、対数関数の範囲に
おいて、わからない点があったので質問させてください。
対数計算において不明な点が多々みられました。例をあげたいと思います。

[]内は底　^は乗を表す。分数表記についてex二分の一＝1/2

例題１４７　対数関数の最大・最小
一、関数　y=(log[2]x/4)^2-log[2]x^2+6　の2≦x≦16における最大値と最小値、およびそのときのxの値を求めよ。　山口大[赤チャート　数学Ⅱ]

この場合の計算ですが僕はこうやってます↓　間違ってる点を指摘してください。よろしくお願いします。三通りやってみたんですが全て違いました・・

投稿者誤解答１
y=(log[2]x/4)^2-log[2]x^2+6
=2(log[2]x/4)-log[2]x^2+6
=2(log[2]x-log[2]2^2)-log[2]x^2+6
=2log[2]x-4-log[2]x^2+6
ここで置き換えlog[2]x=tとする。
=2t-4-t^2+6
=-t^2+2t+2

投稿者誤解答２
y=(log[2]x/4)^2-log[2]x^2+6
=2(log[2]x/4)-log[2]x^2+6
=2(log[2]x-log[2]2^2)-log[2]x^2+6
=(log[2]x-logg[2]2^2)^2-log[2]x^2+6
=(log[2]x-2)^2-log[2]x^2+6
ここで置き換えlog[2]x=tとする。
=(t-2)^2-t^2+6
=t^2-4t+4-t^2+6
=-4t+10

どこがちがうのでしょうか・・・計算の上で不安な点が多々あります・・。
また次のような式変形もわかりません。
x^log[2]x=x^5/64
log[2](x^log[2]x)=log[2](x^5/64)
なぜ↑のような式変形になるのですか？
↓じゃないんですか？
x^log[2]x=x^5/64
log[2]x*x=log[2]2^x^5/64

*は掛ける。

長文ですがよろしくお願いします。

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■30801 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 対数計算について・・・[数学Ⅱ]

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□投稿者/ Ｎ一般人(31回)-(2008/01/17(Thu) 16:01:40)

最初の質問に対する返事ですが、
(log[2]x/4)^2を2(log[2]x/4)としたことがそもそもの間違いです。
log[a]x^2ならば、2log[a]xとするのは可能ですが、(log[2]x/4)^2の場合は、log[2]x/4の二乗であり、真数の二乗ではないのです。
その辺がまず、混同しちゃってますね。

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■30802 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 対数計算について・・・[数学Ⅱ]

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□投稿者/ Ｎ一般人(32回)-(2008/01/17(Thu) 16:08:10)

２番目の問題に対する返事です。
x^log[2]x=x^5/64の両辺に対数をとっただけですね。
つまりlog[2](x^log[2]x)=log[2](x^5-64)となります。

早稲田志望さんは、どうしてlog[2]x*x=log[2]2^x^5/64となると思ったのでしょうか？
その理由を聞いて、間違いを直したほうが、分かりやすいと思うので。

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■30803 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 対数計算について・・・[数学Ⅱ]

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□投稿者/ ウルトラマン一般人(1回)-(2008/01/17(Thu) 16:23:05)

早稲田志望さん，こんばんわ。

> こんにちは。僕は高校辞めて自習で数学を進めているのですが、対数関数の範囲に
> おいて、わからない点があったので質問させてください。
> 対数計算において不明な点が多々みられました。例をあげたいと思います。

> []内は底　^は乗を表す。分数表記についてex二分の一＝1/2
>
> 例題１４７　対数関数の最大・最小
> 一、関数　y=(log[2]x/4)^2-log[2]x^2+6　の2≦x≦16における最大値と最小値、およびそのときのxの値を求めよ。　山口大[赤チャート　数学Ⅱ]
>

> この場合の計算ですが僕はこうやってます↓　間違ってる点を指摘してください。よろしくお願いします。三通りやってみたんですが全て違いました・・
>
> 投稿者誤解答１
> y=(log[2]x/4)^2-log[2]x^2+6
> =2(log[2]x/4)-log[2]x^2+6
> =2(log[2]x-log[2]2^2)-log[2]x^2+6
> =2log[2]x-4-log[2]x^2+6
> ここで置き換えlog[2]x=tとする。
> =2t-4-t^2+6
> =-t^2+2t+2

まず，根本的な間違いをしている箇所があります。
それは，
$2$ \left(\frac{\log _{2}x}{4}\right)^{2} = 2\left(\frac{\log _{2}x}{4\right)$
としている部分です。

$2$\log$ の真数の累乗が $2$\log$ の係数になる場合の公式は，あくまでも
$2$ \log _{a}X^{b} = b\log _{a}X$
であって，
$2$ \left(\log _{a}X\right)^{b} = b\log _{a}X$
ではありません。まずこの公式の使い方について，お手持ちの参考書等で確認していただければと思います。

> 投稿者誤解答２
> y=(log[2]x/4)^2-log[2]x^2+6
> =2(log[2]x/4)-log[2]x^2+6
> =2(log[2]x-log[2]2^2)-log[2]x^2+6
> =(log[2]x-logg[2]2^2)^2-log[2]x^2+6
> =(log[2]x-2)^2-log[2]x^2+6
> ここで置き換えlog[2]x=tとする。
> =(t-2)^2-t^2+6
> =t^2-4t+4-t^2+6
> =-4t+10

これに関しても，同様です。

一応，正しい計算過程を少しだけ書いておきますので，その後は早稲田志望さんの方で，再度計算してみてください。

$2$ y=\left(\frac{\log _{2}x}{4}\right)^2-\log _{2}x^2+6 \\ =\left(\frac{\log _{2}x}{4}\right)^2-2\log _{2}x+6$
この後は， $2$\log _{2}x=t$ と変数変換すると， $2$t$ の2次関数の問題になります。ただし， $2$2\leq x\leq 16$ という制限がついていますので，変数変換した場合は， $2$t$ の範囲に制限が付くことを忘れないで下さい。

>
> どこがちがうのでしょうか・・・計算の上で不安な点が多々あります・・。
> また次のような式変形もわかりません。
> x^log[2]x=x^5/64
> log[2](x^log[2]x)=log[2](x^5/64)
> なぜ↑のような式変形になるのですか？

簡単な例から行きましょう。 $2$A,B$ を正の数とするとき，
$2$ A = B \Longleftrightarrow \log _{2}A = \log _{2}B$
となることに関しては，OKでしょうか？
この， $2$A$ の部分が $2$\displaystyle x^{\log _{2}x}$ ， $2$B$ の部分が $2$x^{5/64}$ となったと思ってください。
すると，
$2$ x^{\log _{2}x} = x^{5/64}$
が成立するとき，両辺の $2$2$ を底とする対数をとると，左辺については，
$2$ \log _{2}x^{\log _{2}x} \\$
ここで， $2$\log$ の指数公式 $2$\log _{2}x^{C} = C\log _{2}x$ を使います。
この公式の $2$C$ の部分が $2$\log _{2}x$ になったと思ってください。すると，
$2$ \log _{2}x^{\log _{2}x} \\ =\left\{\log _{2}x\right\}\log _{2}x$
となります。また，右辺については，
$2$ \log _{2}x^{5/64}$
で， $2$\log$ の指数公式 $2$\log _{2}x^{D}=D\log _{2}x$ を使います。
この公式の $2$D$ の部分が $2$\displaystyle \frac{5}{64}$ になったと思ってください。すると，
$2$ \log _{2}x^{5/64} \\ =\frac{5}{64}\log _{2}x$
となります。

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■30804 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 対数計算について・・・[数学Ⅱ]

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□投稿者/ 早稲田志望一般人(2回)-(2008/01/17(Thu) 16:51:52)

Nさん　こんにちは　ご指摘ありがとうございます。
質問に対する解答です。
log[2]x*x=log[2]2^x^5/64と誤解した理由

x^log[2]x=log[2]x*xと考えたのは対数の性質　log[a]M^k=klog[a]Mというのがあったからです。
また、log[2]2^x^5/64としたのは　たとえば2=log[2]2^2ですよね。それと同じ感覚で[2]2とそろっちゃえばその乗はその値になると思っているからです。

よろしくお願いします。

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■30805 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 対数計算について・・・[数学Ⅱ]

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□投稿者/ 早稲田志望一般人(3回)-(2008/01/17(Thu) 17:02:27)

ウルトラマンさんこんばんは。丁寧な解答・回答ありがとうございます。

対数のとり方が不明です。
x^log[2]x=x^5/64
log[2](x^log[2]x)=log[2](x^5/64)

この同じ底にするには消えないといけないと思っているので

log[2]x*x=log[2]2^x^5/64にしちゃいます。

ex.2=log[2]2^2ですよね？そのような感覚です。

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■30806 / inTopicNo.7)

　Re[3]: 対数計算について・・・[数学Ⅱ]

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□投稿者/ ウルトラマン一般人(2回)-(2008/01/17(Thu) 17:51:13)

早稲田志望さん，こんばんわ。

> ウルトラマンさんこんばんは。丁寧な解答・回答ありがとうございます。
>
> 対数のとり方が不明です。
> x^log[2]x=x^5/64
> log[2](x^log[2]x)=log[2](x^5/64)
>
> この同じ底にするには消えないといけないと思っているので
>
> log[2]x*x=log[2]2^x^5/64にしちゃいます。
>
> ex.2=log[2]2^2ですよね？そのような感覚です。

もうちょっと，細かくご説明します。
$2$ \log _{2}x^{\log _{2}x}$
というのは，細かく書くと，
$2$ \log _{2}x^{\left(\log _{2}x\right)}$
という意味です。分かりにくければ，この $2$()$ の部分を $2$X$ と置き換えて見てください。
すると，
$2$ \log _{2}x^{\left(\log _{2}x\right)} \\ =\log _{2}x^{X} \\ =X\log _{2}x \\ =\left(\log _{2}x\right)\log _{2}x \\ =\log _{2}x\log _{2}x$
となりますね。ここまでは，OKでしょうか？

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■30807 / inTopicNo.8)

　Re[2]: 対数計算について・・・[数学Ⅱ]

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□投稿者/ miyup ベテラン(247回)-(2008/01/17(Thu) 18:53:12)

表記の混乱だと思います。

log[2]x^2＝log[2](x^2) のことで、さらにすすめて　log[2](x^2)＝2・log[2]x 。

(log[2]x)^2 はこれ以上変形できない。

ちなみに
(log[2]x)^2＝(log[2]x)(log[2]x)
とカッコをつけましょう。

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■30808 / inTopicNo.9)

　Re[4]: 対数計算について・・・[数学Ⅱ]

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□投稿者/ 早稲田志望一般人(4回)-(2008/01/17(Thu) 18:54:31)

ウルトラマンさん

はい。ここまでは大丈夫です

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■30809 / inTopicNo.10)

　Re[3]: 対数計算について・・・[数学Ⅱ]

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□投稿者/ 早稲田志望一般人(5回)-(2008/01/17(Thu) 19:04:44)

miyupさん　ご回答ありがとうございます。
ふと思ったのですが・・このあとまだ続き計算できないのですね？

(log[2]x)^2＝(log[2]x)(log[2]x)
=log[2]x+x

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■30812 / inTopicNo.11)

　Re[4]: 対数計算について・・・[数学Ⅱ]

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□投稿者/ miyup ベテラン(248回)-(2008/01/17(Thu) 22:11:52)

2008/01/17(Thu) 22:18:29 編集(投稿者)

■No30809に返信(早稲田志望さんの記事)

> (log[2]x)^2＝(log[2]x)(log[2]x)
> =log[2]x+x

=log[2](x+x) ですか？そのような計算法則はありません。

logの計算(基本)について再確認しましょう。感覚的に計算してはいけません。

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■30818 / inTopicNo.12)

　Re[5]: 対数計算について・・・[数学Ⅱ]

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス一般人(38回)-(2008/01/17(Thu) 23:08:04)

おそらくlogの公式
$2$\log _ax+\log _ay=\log _axy$
を
$2$\log _a(x+y)=\log _ax\log _ay$
と勘違いしているのではないでしょうか？後者のような公式はありません。
よく「logは掛け算を足し算にする」という表現をしますが、このような間違いが
をしないようにしましょう。なれることが一番です。

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■30819 / inTopicNo.13)

　Re[6]: 対数計算について・・・[数学Ⅱ]

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□投稿者/ 早稲田志望一般人(6回)-(2008/01/17(Thu) 23:18:01)

モノトーン・コンバージェンスさん　こんばんは　回答ありがとうございます。
そうです。ご指摘のように勘違いしてました。
ありがとうございます。

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