 | 2008/01/16(Wed) 21:21:02 編集(投稿者)
■No30769に返信(数学さんの記事)
> 3次方程式 x^3+(a－1)x^2－(a－6)x－6＝0がx=1を解にもち、
> a＜－7,－7＜a＜－2√6,2√6＜aのとき、
> ３つの解の絶対値の比が１：２：３であるときのaの値の範囲を求めよ。
因数分解して、(x-1)(x^2+ax+6)＝0
x^2+ax+6＝0 …① について
判別式 D＝a^2-24 で、D＞0 ⇔ a＜-2√6,2√6＜a
x＝1 のとき a+7＝0 で a＝-7
すなわち条件 a＜-7,-7＜a＜-2√6,2√6＜a は、①が x＝1 以外の異なる２実数解を持つことを示している。
①の解を x＝α,βとおく(|α|＜|β|とする)と α+β＝-a, αβ＝6 …②で
３解 x＝1,α,β の絶対値の比が１：２：３より
i) 1：|α|：|β|＝１：２：３ のとき
|α|＝2,|β|＝3 で②より、(α,β,a)＝(2,3,-5),(-2,-3,5)
ii) |α|：1：|β|＝１：２：３ のとき
|α|＝1/2,|β|＝3/3 で、|αβ|≠6 ②より不適
iii) |α|：|β|：1＝１：２：３ のとき
|α|＝1/3,|β|＝2/3 で、|αβ|≠6 ②より不適
以上より、a＝±5
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