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Re[1]: 曲面積と曲線の長さ
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□投稿者/ X 付き人(55回)-(2008/01/14(Mon) 20:06:46)
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問題の曲線はθを媒介変数として
x=a(cosθ)^3 (A)
y=a(sinθ)^3 (B)
(0≦θ<2π)
と表すことができます。
ここで求める面積をS、問題の曲線の微小線素をdlとすると
dS=2πydl=2πy√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}dθ
問題の曲線がx軸に関して対称である事に注意すると
S=∫[θ:0→π]2πy√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}dθ (C)
(A)(B)を(C)に代入して整理すると
S=(6πa^2)∫[θ:0→π]{(sinθ)^3}|sinθcosθ|dθ
=…
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