 | このタイプの不等式は、x^2の係数によって性質が変わってくるので、
次の3つの場合に分けて考えましょう。
[A]a>0のとき
[B]a<0のとき
[C]a=0のとき（1次不等式になります）
[A]a>0のとき
グラフy=ax^2-2x+aをイメージすると、下に凸だから、
常にy>0となる部分（不等式の解）があります。
したがって、a>0はOKということになります。
[B]a<0のとき
グラフy=ax^2-2x+aをイメージすると、上に凸だから、
ax^2-2x+a=0の判別式D>0の場合のみ、y>0となる部分（不等式の解）が現れます。
D=4-4a^2なので、D>0は、4-4a^2>0というaについての条件式になり、
これを解くと、-1<a<1という範囲が求まります。
ただし、場合分けの範囲はa<0だったので、-1<a<0がOKということになります。
[C]a=0のとき
問題の不等式は、-2x>0という1次不等式になります。
これは、x<0という解を持ちます。
したがって、a=0はOKということになります。
以上の-1<a<0,a=0,0<aを全て合わせると、a>-1となり、
これが求めるaの値の範囲です。
（コメント）
この解答は、流れを説明しながら進めています。
ご自分で解答を作成されるときは、類題の模範解答などを参考に、
必要な情報に絞ったスマートな記述を心掛けるとよいと思います。
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