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■30620 / inTopicNo.1)

　証明

□投稿者/ Anne 一般人(1回)-(2008/01/08(Tue) 03:42:13)

nを自然数nとするとき,
a[n]=∫[0→1]{x^(n)e^(x)}dxとする.

(1)0≦x≦1のとき,0≦x^(n)e^(x)≦ex^(n)であることを利用して、lim[n→∞]{a[n]}=0を示せ.

(2)a[n+1]とa[n]の関係式を示せ.

という問題です。(1)は全くのお手上げ状態で、(2)もいまいちよくわかりません。やろうとしていることは帰納法みたいなことなんでしょうか…関係を示すというのもぱっとしません。
どなたか教えてください。

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■30623 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 証明

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□投稿者/ x 一般人(31回)-(2008/01/08(Tue) 07:12:17)

2008/01/08(Tue) 07:45:24 編集(投稿者)

(2) は気が付かないとしかたがないということにするとしても, (1) はほとんど答え直前まで書いてあるといっていいほどあからさまな誘導がヒントとして与えられているのだから, これに手が出せないというのはもっと基本的な内容の理解に穴があると考えたほうがいいのではないだろうか.

(1) ヒントとして与えられている $2$0\,\le\,x\,\le\,1$ のとき, $2$0\,\le\,x^ne^x\,\le\,ex^n$ という不等式と積分の単調性によって
　 $2$\displaystyle\int_0^1\,0\,dx\,\le\,\displaystyle\int_0^1\,x^ne^x\,dx\,\le\,\displaystyle\int_0^1\,ex^n\,dx$
が成立することがわかる (中辺が $2$a_n$ ) から, 計算してはさみうちで終い.

(2) $2$a_{n+1}$ の被積分関数を $2$x^{n+1}e^x\,=\,x^{n+1}(e^x)'$ と見て部分積分すると $2$a_n$ が出てくる.
　 $2$a_{n+1}\,=\,\displaystyle\int_0^1\,x^{n+1}e^x\,dx\,=\, \left[x^{n+1}e^x\right]_0^1\, -\,\displaystyle\int_0^1\,(x^{n+1})'e^x\,dx\,=\,e\,-\,(n+1)a_n.$
$2$a_{n+1}$ と $2$a_n$ の間に成立する関係式を求めろとは, この場合は $2$a_{n+1}$ を $2$a_n$ を使った式で表せという意味. もう少し一般には式 $2$f(x)$ と $2$g(x)$ で等式 $2$f(a_{n+1})\,=\,g(a_n)$ が成立するようなもの, あるいは, 二変数の函数 $2$F(x,y)$ で $2$F(a_{n+1},a_n) = 0$ を満たすものを求めよというような意味. 場合によっては等式ではなく不等式のかたちで関係式を求める場合もあるにはあるが, その場合は「評価せよ」といわれるのが通例.

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■30652 / inTopicNo.3)

　あと…

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□投稿者/ Anne 一般人(2回)-(2008/01/09(Wed) 09:16:24)

ありがとうございます！(１)ははさみうちでしたか…力ずくでそのまま積分しようとしてました…

とても助かりました。実は小問がもう2問あってそちらも考えてみたのですがやっぱりわかりません…よろしければお力添え願えると助かります。
こちらの問題は解決したのでとりあえず済にさせて頂きます。ありがとうございました！！

(携帯)

解決済み!

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