 | 2008/01/08(Tue) 18:34:53 編集(投稿者)
二問目)（別解）
x+y+z=6 (A)
とします。
解法その１）（コーシー・シュワルツの不等式を使う）
コーシー・シュワルツの不等式により
(1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)≧(1・x+1・y+1・z)^2
(等号成立はx:y:z=1:1:1のとき)
つまり
3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)^2 (D)
(等号成立はx=y=zのとき)
(A)を(D)に代入すると
3(x^2+y^2+z^2)≧36
(等号成立はx=y=zかつ(A)のとき)
∴x^2+y^2+z^2≧12
(等号成立はx=y=z=2のとき)
よって求める最小値は12(このときx=y=z=2)
となります。
解法その２）（空間図形的な解法
・三次元の空間ベクトルを学習されてなければ無視して下さい）
(A)は平面の方程式であり、又
x^2+y^2+z^2 (B)
とは原点と点(x,y,z)との間の距離の二乗を表します。
従って(B)の最小値は(A)と原点との間の距離の二乗に等しくなりますので
求める最小値をmとすると点と平面との間の距離の公式により、
m={|0+0+0-6|/√(1^2+1^2+1^2)}^2=12
このときの(x,y,z)の値は原点を通り(A)に垂直な直線(nとします)と(A)
との交点の座標の値になります。
ここで(A)の法線ベクトルは(1,1,1)ですのでnの方程式は
x=y=z (C)
(A)(C)を連立して解き、(B)が最小のときのx,y,zの値は
x=y=z=2
となります。
＞＞miyupさんへ
zを消去した式の平方完成の計算を間違えていませんか？
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