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■30608 / inTopicNo.1) 　三角関数
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□投稿者/ なるむ 一般人(1回)-(2008/01/07(Mon) 23:02:31)
    △ＡＢＣが鋭角三角形の時、tanA+tanB+tanCの最小値を求めよ。

    よろしくお願いします。
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■30612 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 三角関数
□投稿者/ だるまにおん 一般人(2回)-(2008/01/07(Mon) 23:57:41)
    A+B+C=πよりtanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC…(★)が成り立ちます。(ご自分で確認してみて下さい。)
    相加相乗の不等式より
    tanA+tanB+tanC≧3(tanAtanBtanC)^(1/3)
    (★)より
    tanA+tanB+tanC≧3(tanA+tanB+tanC)^(1/3)
    変形して
    tanA+tanB+tanC≧3√3
    A=B=C=π/3のとき等号成立
    以上より最小値は3√3
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■30641 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 三角関数
□投稿者/ 豆 一般人(21回)-(2008/01/08(Tue) 15:48:58)
    別解として、凸関数の性質を使っても良いですね。

    y=tanxとおくと、
    y’=1/(cosx)^2
    y”=2sinx/(cosx)^3なので、
    0＜x＜π/2で、y”＞0　つまりy=tanxは下に凸
    従って、
    (tanA+tanB+tanC)/3≧tan((A+B+C)/3)=tan(π/3)=√3
    (等号はA=B=Cのとき成立)
    ∴最小値は3√3　(A=B=C=π/3のとき)

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