 | いきなり一般のnで示すのは少し難しいので、
nが2の累乗の形で表されるときの相加平均≧相乗平均を数学的帰納法で示してみてください。
では、nが2の累乗の形で表されるときに相加平均≧相乗平均が示されたとします。
今、n=k+1のとき相加平均≧相乗平均が成り立っているとします。つまり、
{a1+a2･･･+a(k+1)}/(k+1)≧{a1a2･･･a(k+1)}^{1/(k+1)}･･･☆
ここで、a(k+1)=(a1+a2+･･･+ak)/kとおくと、☆式は
(a1+a2+･･･+ak)/k≧(a1a2･･･ak)^{1/(k+1)} × {(a1+a2+･･･+ak)/k}^{1/(k+1)}
両辺を{(a1+a2+･･･+ak)/k}^{1/(k+1)}で割ると、
{(a1+a2+･･･+ak)/k}^{k/(k+1)}≧(a1a2･･･ak)^{1/(k+1)}
あとはこの両辺を(k+1)/k乗することで、n=kのときも示されたことになります。
つまり、n=2^mのとき成り立っていればn=2^m-1,2^m-2,2^m-3････のときも成り立っているし、
先に示したように全てのmで成り立ってるんだから、結局全ての自然数で成り立っていることになります。
|
