数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 微分の問題です。 / Page: 0]

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■30518 / inTopicNo.1)

　微分の問題です。

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□投稿者/ ねこ一般人(9回)-(2008/01/06(Sun) 14:10:56)

円形の紙から扇形を切り取ってロート(直円錐)を作り、その体積を最大にしたい。
切り取るべき扇形の中心角を求めよ。

って問題ですが、
答えは

2π√2/3

らしいのですが、全然分かりません。
どなたか教えてください。

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■30522 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 微分の問題です。

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□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕ付き人(73回)-(2008/01/06(Sun) 16:53:48)

2008/01/06(Sun) 16:58:23 編集(投稿者)

まず、母線の長さがｒで、底面の半径がａである円錐で、ｒが一定のときａがいく
らのときに体積が最大になるかを求めます。

この円錐の高さは、√(r^2-a^2) だから、体積をｆ(a)とすると
ｆ(a)＝(π/3)a^2・√(r^2-a^2)　　となり
ｆ’(a)＝(π/3){2a√(r^2-a^2)－a^3/√(r^2-a^2)｝
　　　＝(π/3)・a(2r^2－3a^2)/√(r^2-a^2)
よって、ｆ’(a)＝0　であるのは、ａ＝±(√6/3)ｒ ,0

増減表を書くと、ａ＞0でｆ(a)は、ａ＝(√6/3)ｒのときに最大値をとります。
このとき、底面の円周は、(2√6/3)πｒ
したがって、扇形の弧の長さが、(2√6/3)πｒのときの中心角を求めればよいこと
になります。
扇形の中心角をθ(ラジアン)とすると、ｒθ＝(2√6/3)πｒ
ゆえに、θ＝(2√6/3)π　が答えとなりましたが。
（2π√2/3　は間違いでは？）

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■30544 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 微分の問題です。

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□投稿者/ ねこ一般人(10回)-(2008/01/06(Sun) 19:45:20)

> （2π√2/3　は間違いでは？）

いや、どう答えを見ても、2π√2/3なんですがね。･･･

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■30560 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 微分の問題です。

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□投稿者/ らすかる軍団(101回)-(2008/01/06(Sun) 21:32:35)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2π√2/3 というのは通常 (2π√2)/3 という意味ですが、
もしかして 2π√(2/3) のつもりで書いているのでしょうか？
そうだとしたら、 2π√(2/3)=2π√6/3 なので一致しています。

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■30561 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 微分の問題です。

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□投稿者/ らすかる軍団(102回)-(2008/01/06(Sun) 21:36:00)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

でも、これは問題も良くないと思います。
扇形の中心が円形の紙の端にくるように切り取れば、体積はもっと大きくできますね。

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■30564 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 微分の問題です。

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□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕ付き人(79回)-(2008/01/06(Sun) 22:09:06)

> いや、どう答えを見ても、2π√2/3なんですがね。･･･

[2π√2/3 の場合]
弧の長さ＝底面の円周＝(2√2/3)πｒ
底面の半径＝(√2/3)ｒ ,円錐の高さ＝(√7/3)ｒ
円錐の体積＝(1/3)*π(√2/3)^2*ｒ^2*(√7/3)ｒ＝(2√7/81)πｒ^3

[2π√6/3 の場合]
弧の長さ＝底面の円周＝(2√6/3)πｒ
底面の半径＝(√6/3)ｒ ,円錐の高さ＝(√3/3)ｒ
円錐の体積＝(1/3)*π(√6/3)^2*ｒ^2*(√3/3)ｒ＝(6√3/81)πｒ^3

2√7＝√28　,6√3＝√108 となり、明らかに　(2√7/81)πｒ^3＜(6√3/81)πｒ^3

以上の検証からも、2π√2/3 は、誤答でしょう。

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■30566 / inTopicNo.7)

　Re[1]: 微分の問題です。

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□投稿者/ ＤＡＮＤＹ　Ｕ付き人(80回)-(2008/01/06(Sun) 22:26:30)

らすかるさんの NO.30560 のコメントをみて納得。
2π√(2/3) のつもりとはね！　
ルートの中を整数にすることの方が一般的だし、括弧が抜けているとは思いもよらず、両体積を比較しました。
誤植で解答で３がルートの外にある場合のときも考えて、上の回答を残しておきます。

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■30567 / inTopicNo.8)

　Re[4]: 微分の問題です。

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□投稿者/ ねこ一般人(15回)-(2008/01/06(Sun) 22:36:13)

■No30560に返信(らすかるさんの記事)
> 2π√2/3 というのは通常 (2π√2)/3 という意味ですが、
> もしかして 2π√(2/3) のつもりで書いているのでしょうか？
> そうだとしたら、 2π√(2/3)=2π√6/3 なので一致しています。

あの～
2π√(2/3) のつもりで書いてますぅ。

という事は、2π√6/3と一緒ですかね？
2π√6/3は（2π√6）/3という事ですか？

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■30568 / inTopicNo.9)

　Re[5]: 微分の問題です。

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□投稿者/ らすかる軍団(104回)-(2008/01/06(Sun) 23:21:27)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2008/01/06(Sun) 23:24:41 編集(投稿者)

自分が 2π√(2/3) の“つもり”でも、カッコを付けないと
そのように受け取ってもらえませんよ。
2π√6/3 は (2π√6)/3 という意味ですから、
2π√(2/3)=2π√6/3 です。

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■30569 / inTopicNo.10)

　Re[6]: 微分の問題です。

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□投稿者/ ねこ一般人(16回)-(2008/01/06(Sun) 23:31:08)

以後、気をつけますぅ。

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