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Re[4]: fが(a-1,b+1)や(a,b)で微分可能なら∫[a to b]2f(x)f'(x)dx=(f(b))^2-(f(a))^2?
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□投稿者/ miwa 一般人(6回)-(2008/01/07(Mon) 05:56:44)
 | ご回答有難うございます。
> 偽ならば反例を一つ作って左辺と右辺の値が
> 一致しないことを示せばよいと思いま
> す。
a=1,b=2とし、f(x):=1/(x-1)(x-2)
なるものを考えて見るとこのf(x)は(a,b)で微分可能で
f'(x)=(-2x+3)/(x-1)^2(x-2)^2
で
f'(x)=0の時,x=3/2
よって
f(x)はx=3/2で極大値-4をとりx=1,x=2を漸近線とする曲線となる。
従って,
∫[1 to 2]2f(x)f'(x)dx=lim[(c,d)→(1,2)]∫[c to d]2f(x)f'(x)dx
=lim[(c,d)→(1,2)]∫[c to d]2f(x)f'(x)dx
=lim[(c,d)→(1,2)]((f(d))^2-(f(c))^2)
=lim[(c,d)→(1,2)](1/(d-1)^2(d-2)^2-1/(c-1)^2(c-2)^2)
から先に進めません。
ここからどうなりますでしょうか?
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