 | 次のような考え方はどうでしょう。
∠ＡＰＢ＝θ であるようなＰは、ＡＢを弦とし中心角が２θであるような円周上にあります。
この円の中心をＴ(p,q)とすると、ｑ＝３ 、∠ＡＴＢ＝２θ なる点です。
すると、ｐがなるべく小さく、円Ｔがｘ軸に接するときに２θが最大となります。
このときは円Ｔの半径が３だから、△ＴＡＢは ＴＡ＝ＴＢ＝3、ＡＢ＝2
ゆえに、Ｔとｙ軸の距離は 2√2 となり、ｐ＝2√2 となります。
この円とｘ軸の接点がＰになるから、Ｐの座標は（2√2,０）となります。
このとき、∠ＢＰＯ＝α とすると tanα＝1/√2、tan∠APO＝√2
よって、tanθ＝tan(∠APO-α)＝(tan∠APO−tanα)/(1＋tan∠APO・tanα）
＝{√2−（1/√2)}/(1＋1)＝√2/4
・・・・・以上のようになりました・・・・・
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