 | ■No3043に返信(みんさんの記事)
次のようにして解きます。
まずPの軌跡をパラメータ表示します。
大円の中心を原点Oに、小円の中心をCとし、小円と大円の接点をTとします。
Pの始点をS＝(10,0)、終点をGとします。
OP＝(rsinθ.rcosθ)とおきます。
まず∠SOTをt、∠TCPをsとおくと与えられた条件から
10t=3sが成り立つので、
OP＝(rsinθ.rcosθ)
＝(7cost,7sint)－(3coss,3sins)
＝(7cost-3cos10t/3,7sint-3sin10t/3)★
とPはtで表示できます。
次にPの軌跡SGを一辺とする図形SGOの面積を考えましょう。
(この部分の面積が分かれば事実上問題は解けています)
一般に極座標表示された点が原点中心に掃く面積は
∫r^2/2dθ ・・・☆
で求められるので、問題はr^2をtで、dθをtとdtで表すことに帰着されます。
まずr^2については上の表示★から簡単に
(7cost-3cos10t/3)^2+(7sint-3sin10t/3)^2
と表されます。
残るはdθですが、
①-rsinθdθ＝(-7sint+10sin10t/3)dt (Pのx座標に関する★の等式を微分)。
一方
②-rsinθdθ＝(-7sint+3sin10t/3)dθ (Pのy座標に関する★の等式)
ですので、①と②の右式を比較すれば、dθがdtとｔで表せます。
よって☆を変数変換することで積分が計算できます。
最後に：
☆を使わない解法を思いつけませんでした。
すみません。
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