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■30424 / inTopicNo.1) 　積分
  ▼■
□投稿者/ みずほ 一般人(2回)-(2007/12/30(Sun) 12:25:45)
    関数Fn(x)(n=1,2,3,…)は
    F1(x)=4x^2+1
    F(n+1)(x)=3x^2∫[0→1]tF`n(t)dt+3∫[0→1]Fn(t)dt (n=1,2,3,…)
    で帰納的に定義されている。このFn(x)を求めよ。


    携帯からなので表記がわかりなくくてすみません。前問にに続いてこの問題も教えてください

    (携帯)
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■30425 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 積分
□投稿者/ X 付き人(50回)-(2007/12/30(Sun) 13:18:46)
    F[1](x)=4x^2+1 (A)
    F[n+1](x)=3x^2∫[0→1]tF'[n](t)dt+3∫[0→1]F[n](t)dt (n=1,2,3,…) (B)
    とします。
    ∫[0→1]tF'[n](t)dt=a[n+1] (C)
    ∫[0→1]F[n](t)dt=b[n+1] (D)
    と置くと(B)より
    F[n]=3a[n]x^2+3b[n] (E)
    (E)を(C)(D)に代入すると
    a[n+1]=∫[0→1](6a[n]t^2)dt=2a[n] (C)'
    b[n+1]=∫[0→1](3a[n]t^2+3b[n])dt
    =a[n]+3b[n] (D)'
    (A)(E)より
    a[1]=4/3,b[1]=1/3
    となることに注意してa[n],b[n]の漸化式(C)'(D)'を解きます。
    (まずは(C)'よりa[n]を求めましょう。)
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■30426 / inTopicNo.3) 　すみません
□投稿者/ みずほ 一般人(3回)-(2007/12/30(Sun) 13:51:05)
    an=1/3･2^(n+1)と出したのですがbnをどうすればいいのか分からないので教えてください

    (携帯)
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■30429 / inTopicNo.4) 　Re[1]: 積分
□投稿者/ X 付き人(51回)-(2007/12/31(Mon) 13:13:05)
    a[n]=(1/3)2^(n+1)
    を(D)'に代入すると
    b[n+1]=3b[n]+(1/3)2^(n+1)
    ∴b[n+1]/2^(n+1)=(3/2)b[n]/2^n+1/3 (D)"
    ここでb[n]/2^n=c[n]と置くと
    c[1]=b[1]/2=1/6 (E)
    で(D)"は
    c[n+1]=(3/2)c[n]+1/3 (F)
    (E)の元でc[n]の漸化式(F)を解きます。

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