数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 球面上の点 / Page: 0]

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■30376 / inTopicNo.1)

　球面上の点

□投稿者/ あさみ一般人(1回)-(2007/12/28(Fri) 04:16:12)

球面 x^2 + y^2 + z^2 = 1 上に点P(a,b,c)がある。ここで、a,b,cは正の整数であるとする。
(1)点Pにおいて球面と接する平面の方程式を求めよ。
(2)(1)の平面がx軸、y軸、z軸と交わる点をそれぞれA、B、Cとする。三角形ABCの面積を求めよ。
(3)点Pが平面√3*x - y = 0 と球面の交線上を動くとき、(2)の三角形ABCの面積の最小値を求めよ。

なかなか解けないので、解説、お願いします。

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■30379 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 球面上の点

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス一般人(30回)-(2007/12/28(Fri) 08:09:06)

> (1)点Pにおいて球面と接する平面の方程式を求めよ。
$2$ax+by+cz=1$ これは、高校の問題なら答えだけでもよいかと思います。
> (2)(1)の平面がx軸、y軸、z軸と交わる点をそれぞれA、B、Cとする。三角形ABCの面積を求めよ。
ｘ軸の点は $2$(x_0,0,0)$ とかけます。
(1)の平面上にあるので $2$ax_0=1$ すなわち、 $2$x_0=\frac{1}{a}$ が求まります。
B,Cについても同様です。△ABCの面積は $2$\frac{1}{2}\sqrt{(AB\times AC)^2-(\vec{AB}\cdot\vec{AC})^2}$ を使えばよいでしょう。

> (3)点Pが平面√3*x - y = 0 と球面の交線上を動くとき、(2)の三角形ABCの面積の最小値を求めよ。
（２）でもとめた式に $2$b=\sqrt{3}a$ を代入して最大、最小を調べます。

あと、たぶん誤植でしょうが
『球面 x^2 + y^2 + z^2 = 1 上に点P(a,b,c)がある。ここで、a,b,cは正の整数であるとする。』

となる自然数 $2$a,b,c$ は存在しません。 $2$0<a^2<1,0<b^2<1,0<c^2<1$ が成立しています。

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■30381 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 球面上の点

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□投稿者/ 豆一般人(18回)-(2007/12/28(Fri) 11:28:08)

(2)は三角錐OABCの体積に関して、
底面をOABとみたときの高さOCからの体積
底面をABCとみたときの高さ=1からの体積
が等しいことからABCの面積を求めても良いですね。

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■30901 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 球面上の点

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□投稿者/ あさみ一般人(4回)-(2008/01/21(Mon) 02:30:22)

>ABCの面積は $2$\frac{1}{2}\sqrt{(AB\times AC)^2-(\vec{AB}\cdot\vec{AC})^2}$ を使えばよいでしょう。
>

ここの計算方法を解説していただけないでしょうか？

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■30904 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 球面上の点

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス一般人(48回)-(2008/01/21(Mon) 09:16:15)

> >ABCの面積は $2$\frac{1}{2}\sqrt{(AB\times AC)^2-(\vec{AB}\cdot\vec{AC})^2}$ を使えばよいでしょう。

$2$A(\frac{1}{a},0,0),B(0,\frac{1}{b},0),C(0,0,\frac{1}{c})$
なので
$2$\vec{AB}=(-\frac{1}{a},\frac{1}{b},0),\vec{AC}=(-\frac{1}{a},0,\frac{1}{c})$ ですので

$2$(AB\times AC)^2$ = $2$|\vec{AB}|^2|\vec{AC}|^2=(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2})$

$2$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b}\times 0 +\frac{1}{c}\times 0=\frac{1}{a^2}$ （各成分をかけて、足す）

を公式 $2$\frac{1}{2}\sqrt{(AB\times AC)^2-(\vec{AB}\cdot\vec{AC})^2}$ に代入します。この公式は覚えておくと便利です。

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■30942 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 球面上の点

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□投稿者/ あさみ一般人(6回)-(2008/01/23(Wed) 04:57:52)

> （２）でもとめた式に $2$b=\sqrt{3}a$ を代入して最大、最小を調べます。

とありますが、（２）の式には、aとcが残ってしまい、最大最小を調べられないのですが、計算ミスでしょうか？ここに計算経過を書きたいのですが、パソコンは苦手で、時間がかかってしまうので。すみません。。。

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■30959 / inTopicNo.7)

　Re[3]: 球面上の点

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス一般人(49回)-(2008/01/24(Thu) 00:40:54)

>>（２）でもとめた式に $2$b=\sqrt{3}a$ を代入して最大、最小を調べます。
>
> とありますが、（２）の式には、aとcが残ってしまい、最大最小を調べられないのですが、計算ミスでしょうか？ここに計算経過を書きたいのですが、パソコンは苦手で、時間がかかってしまうので。すみません。。。

確かに、この説明では不親切ですね。

Pは
$2$y=\sqrt{3}x$ 上

かつ

$2$x^2+y^2+z^2=1$ 上
にあるので
（２）でだした式を $2$b=\sqrt{3}a,a^2+b^2+c^2=1$ を用いて文字を一つにします。
少し考えればわかりますが
$2$c^2=1-4a^2$
となります。

これで(２)の式はaで表せ、最大最小を考えれますが、a,b,cは本当に正の整数ですか？そうであれば、問題として成立していないのですが・・・（前述のとおり）

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