数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 平面図形 / Page: 0]

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■30374 / inTopicNo.1)

　平面図形

□投稿者/ のぶ一般人(3回)-(2007/12/28(Fri) 00:43:12)

半径1の円に内接する四角形ABCDに対して、L=AB^2-BC^2-CD^2+DA^2とおく。
三角形ABDと三角形BCDの面積をそれぞれSおよびTとする。また∠A=θ(0＜θ＜90°)
とおく。このとき以下の問いに答えよ。
(1)LをS,Tおよびθを用いて表せ。
(2)θを一定としたとき、Lの最大値を求めよ。

どなた至急教えてください。分からなくて困ってます。

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■30377 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 平面図形

▲▼■

□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス一般人(28回)-(2007/12/28(Fri) 06:20:10)

図は添付しませんでしたが、実際には図を描いて読んでください。
（１）　　
余弦定理を用いる。
△ABDについて：
$2$BD^2=AB^2+AD^2-2AB\times AD \cos \theta \cdots (a)$
△CBDについて：
$2$BD^2=BC^2+CD^2+2BC\times CD \cos \theta \cdots (b)$

(a)-(b)より
$2$0=L-2\cos \theta(AB\times AD+BC\times CD )$
すなわち
$2$L=2\cos \theta(AB\times AD+BC\times CD )$

また
$2$S=\frac{1}{2}AB\times AD\sin \theta \Leftrightarrow AB \times AD=\frac{2S}{\sin \theta}$

$2$T=\frac{1}{2}BC\times CD\sin \theta \Leftrightarrow BC \times CD=\frac{2T}{\sin \theta}$
より上の式に代入して
$2$L=\frac{4(S+T)}{\tan \theta}$

（２） $2$\theta$ が一定のとき、（１）の結果より $2$S+T$ すなわち、四角形ABCDの面積が最大となるとき、 $2$L$ が最大である。

ここで
(四角形ABCDの面積)＝ $2$AC\times AD\times \sin \alpha$
ただし $2$\alpha$ は対角線 $2$AC,BD$ のなす角

を考えれば半径１の円に内接しているので $2$AC=BC=2,\alpha=\frac{\pi}{2}$ のときに最大となる。
このとき $2$L=\frac{16}{\tan \theta}$

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