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■30288 / inTopicNo.1)

　極限

□投稿者/ satsuma 一般人(9回)-(2007/12/19(Wed) 23:19:50)

$2$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-x-1}{x^{2}}$
なのですが、どのように求めたらよいでしょうか。
ロピタルの定理を用いれば1/2になることが分かるのですが、
ロピタルの定理を用いずに極限を求めることはできないでしょうか。
よろしくお願い致します。

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■30294 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ サボテン軍団(103回)-(2007/12/20(Thu) 10:08:08)

姑息なやり方かもしれませんが、
平均値の定理より、∃h∈(0,x)　e^x-1=xe^h
よって、ε>0,x∈(0,ε)に対し、x≦e^x-1≦xe^ε
この両辺を(0,ε)で積分し、
ε^2/2≦e^ε-ε-1≦ε^2/2e^ε
変形し、
1/2≦(e^ε-ε-1)/ε^2≦e^ε/2
ε→0の極限を取ると、1/2になることが言えます。

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■30301 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス一般人(23回)-(2007/12/20(Thu) 12:20:55)

高校の範囲であれば、おそらく単独で聞かれる場合はなく、はさみうちの原理を利用できるように、前問で不等式を証明させるなどの誘導が入ってきます。

大学の範囲であれば $2$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ というTaylor展開を考えれば、 $2$\frac{e^x-x-1}{x^2}=\frac{1}{2}+\sum_{n=3}^{\infty}\frac{x^{n-2}}{n!}$ となるので、極限値 $2$\frac{1}{2}$ がでます。

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■30305 / inTopicNo.4)

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□投稿者/ まさと一般人(1回)-(2007/12/20(Thu) 13:48:44)

e^x - 1 = ∫[0,x]e^t dt
= [(t-x)e^t](t:0,x) - ∫[0,x](t-x)e^tdt
= x + ∫[0,x](x-t)e^tdt
= x + [-(1/2)(x-t)^2 e^t](0,x) + ∫[0,x](1/2)(x-t)^2 e^tdt
= x + (1/2)x^2 + ∫[0,x](1/2)(x-t)^2 e^tdt

0＜x＜1　とすると
|e^x - 1 - x - (1/2)x^2| = ∫[0,x](1/2)(x-t)^2 e^t dt
＜∫[0,x](1/2)(x-t)^2 e^1 dt
= e[-(1/3!)(x-t)^3](t:0,x) = (e/3!)x^3

|(e^x - 1 - x)/x^2 - 1/2|＜(e/3!)x　→　0　　　( x → +0 )

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■30306 / inTopicNo.5)

　Re[2]: Re

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□投稿者/ satsuma 一般人(10回)-(2007/12/20(Thu) 23:36:56)

サボテンさん、モノトーン・コンバージェンスさん、まさとさん
どうもありがとうございました。
高校の範囲ではやはり厳しいですか。。
テイラー展開を知っていないと結局はまさとさんのような導き方も
思いつけないですよね。
ありがとうございました。

解決済み!

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■30310 / inTopicNo.6)

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□投稿者/ まさと一般人(2回)-(2007/12/21(Fri) 02:26:24)

2007/12/21(Fri) 03:37:59 編集(投稿者)

e^x - 1 = ∫[0,x]e^t dt

0＜x＜1　とすると
∫[0,x](1＋t) dt＜∫[0,x]e^t dt＜x(e^0＋e^x)/2

x＋(1/2)x^2＜e^x - 1 ＜x(1＋e^x)/2

(1/2)x^2＜e^x - 1 - x＜x(e^x - 1)/2

1/2＜(e^x - 1 - x)/x^2＜(1/2)(e^x - 1)/x　→　1/2　( x → +0 )

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