数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: ベクトルの成分表示について / Page: 0]

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■30226 / inTopicNo.1)

　ベクトルの成分表示について

□投稿者/ kuni 一般人(1回)-(2007/12/15(Sat) 17:20:28)

私はベクトルを成分表示する際に学校では横ベクトル表示を予備校では
縦ベクトル表示を習い、最終的には個人的に見やすいと感じた縦ベクト
ル表示を使っています。
ただ、理由を説明してもらえないまま、学校では縦ベクトル表示は良く
ないからやめなさい言われてしまいました。
横と縦の表示の仕方にはどのような違いがあり、高校段階ではどちらを
使うのがよいのかをご存知の方がいらっしゃいましたら教えてください。

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■30228 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ベクトルの成分表示について

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□投稿者/ 勘助一般人(4回)-(2007/12/15(Sat) 19:13:45)

大学入試で使うのなら，どっちでもいいでしょう．
確かに列ベクトル表示が見やすいと感じることはあるでしょうから．
他の人の意見はどうでしょうか．

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■30240 / inTopicNo.3)

　Re[1]: ベクトルの成分表示について

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□投稿者/ モノトーン・コンバージェンス一般人(20回)-(2007/12/16(Sun) 22:13:49)

勘助さんのおっしゃるとおり、大学入試を解く際にはいずれを用いてもよいかと思います。
kuniさんは行数学ⅢＣの行列を学んでいますでしょうか？
（まだの場合はスルーして構いません）

例えば、２次元の縦ベクトルと横ベクトルはそれぞれ行列と見て考えると、１行２列の行列、２行１列の行列の行列としてみることができ、本質的な違いがでてきます。特に行列の積が定義できるものが変わってきます。

おそらく、学校の先生は以上の違いを知っているため、それを使うことに気持ち悪さを感じたのではないでしょうか？ですが、高校の範囲ではその違いはたいして、気にすることはありません。問題を解くのはkuniさん自身ですから、使いやすい方法をとってよいでしょう。

ですが、先生に注意されたなら、定期試験などは、社交辞令（？）として、横ベクトルを使っておくのも手かと思います。

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■30245 / inTopicNo.4)

　Re[1]: ベクトルの成分表示について

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□投稿者/ x 一般人(27回)-(2007/12/17(Mon) 13:19:16)

既に他の人が書かれていることの繰り返しだが……

行列 $2$A$ を一次変換 (線型写像) と見なすとき, 函数や写像を左記法で $2$f(x)$ と書くのにあわせて $2$f_A:\,\vec{x}\,\mapsto\,f_A(\vec{x})$ と書けば, 行列の積 $2$AB$ は函数の合成 $2$f_A\,\circ\,f_B$ に対応する. しかもこのとき, $2$\vec{x}$ を縦ベクトルとして書くと,
　 $2$f_A(\vec{x})\, =\, \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}$
というふうに行列とベクトルの積は縦ベクトルを行列とみなしたときの行列の積と整合的になる. ベクトルの一次変換や一次変換の合成が「行列の積」という一つの規則で記述できることが合理的だというわけ.

で, そういう事情から, 線型代数学（一次変換と行列論・ベクトル空間論）では縦ベクトルを用いることのほうが多い. しかし高校範囲, とくに数学II・Bまでしかやらないのであれば, 縦と横の記法に本質的な差異は発生しないので, ノートをとるときに場所をとらないなどの理由もあってか横ベクトルが好まれる傾向もある. 一次変換の代わりに複素平面を扱うカリキュラム構成になっていた時期では縦ベクトルを使う必要自体が出てこないから, 教師によっては縦ベクトルを好まない人もいるだろう.

なお, 函数を左記法ではなく右から作用すると考えるなら, ベクトルの縦と横の関係は逆転する. 右記法ではよく冪表記が用いられるのでそれに従うと, 行列 $2$A$ を一次変換 $2$\sigma_A:\,\vec{x}\,\mapsto\,\vec{x}^{\sigma_A}$ とみなしたとき, 行列の積 $2$AB$ は合成 $2$\sigma_A\,\circ\,\sigma_B$ に対応し, ベクトルを横ベクトルとして書けば $2$\vec{x}^{\sigma_A}\, :=\, \begin{pmatrix} x & y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ とやはり統一的に扱える.

函数は左から作用させて, 行列は右から掛けるとかあるいは逆に行列を左から掛けるが函数は右からというようなことをやると, 積と合成で順番が逆になる程度の違いではあるけれども, 積や合成を複数重ねるようなことを考え始めるとややこしくなるので通常はやらない.

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■30251 / inTopicNo.5)

　Re[1]: ベクトルの成分表示について

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□投稿者/ kuni 一般人(2回)-(2007/12/17(Mon) 21:45:15)

勘助さん、モノトーン・コンバージェンスさん、Xさん貴重な
意見ありがとうございました。

しばらくは縦表示で学習して、定期試験のときは横表示で書く
ことにしようと思います。

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