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■30214 / inTopicNo.1) 　数列
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□投稿者/ やまとも 一般人(2回)-(2007/12/15(Sat) 00:48:30)
    四角形ABCDの辺AB,BC,CD,DA,対角線BD,CAの長さをそれぞれa,b,c,d,x,yとする。
    四角形ABCDが円に内接するとき、数列a,b,x,c,d,yは等差数列ではないことを示せ。


    教えてください、お願いします。
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■30216 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 数列
□投稿者/ X 一般人(39回)-(2007/12/15(Sat) 10:29:51)
    背理法で証明します。

    問題の数列が公差pの等差数列と仮定すると
    b=a+p (A)
    x=a+2p (B)
    c=a+3p (C)
    d=a+4p (D)
    y=a+5p (E)
    今、∠BAC=tと置くと四角形ABCDが円に内接していることから
    △ABC,△BCDについてBCに注目した余弦定理により
    x^2=a^2+b^2-2abcost=c^2+d^2-2cdcos(180°-t) (F)
    (A)(C)(D)(F)より
    (a+2p)^2=a^2+(a+p)^2-2a(a+p)cost=(a+3p)^2+(a+4p)^2+2(a+3p)(a+4p)cost
    これより
    (a+2p)^2=a^2+(a+p)^2-2a(a+p)cost (G)
    (a+2p)^2=(a+3p)^2+(a+4p)^2+2(a+3p)(a+4p)cost (H)
    (G)より
    4p(a+p)=(a+p)^2-2a(a+p)cost
    (p+a)(3p-a+2acost)=0
    ∴p=-a,a(1-2cost)/3 (G)'
    一方(H)より
    -4p(a+3p)=(a+3p)^2+2(a+3p)(a+4p)cost
    (a+3p){4p+(a+3p)+2(a+4p)cost}=0
    (a+3p){a+7p+2(a+4p)cost}=0
    ∴p=-a/3,-a(1+2cost)/(7+4cost) (H)'

    (i)p=-aのとき
    (H)'より
    -a=-a/3 (I)
    又は
    -a=-a(1+2cost)/(7+4cost) (J)
    ですが
    (I)のときa=0ゆえ不適
    (J)のとき
    1=(1+2cost)/(7+4cost)
    1+2cost=7+4cost
    ∴cost=-3/2<-1となり、これも不適
    (ii)p=a(1-2cost)/3のとき
    (i)と同様に考えると
    cost=(-1+√21)/4
    p=a(3-√21)/6
    ところがこのとき(D)より
    d<0
    となりますのでこれも不適。

    以上から背理法により、問題の命題は成立します。
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