数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 有限生成群と可算 / Page: 0]

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■30155 / inTopicNo.1)

　有限生成群と可算

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□投稿者/ Sweet 一般人(42回)-(2007/12/11(Tue) 18:54:32)

有限生成群は可算集合であることを示せ。

どう順序立てて証明していけばいいのかわかりません；；
教えてください☆お願いします。

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■30170 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 有限生成群と可算

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□投稿者/ サボテン付き人(92回)-(2007/12/12(Wed) 11:45:50)

有限生成群Gの生成元をa_1,a_2,・・・a_nとします。

この時、e_k∈Zとして、有限生成群Gの元はa_1^e_1 ・・・a_n^e_nと

表されます。

準同型写像fを考えます。
f(a_k)=p_k (p_kはk番目の素数)
この時f:G→Qで構成から、f(G)とGは同型です。
f(G)⊂Qからf(G)は可算集合。よってGも可算集合です。

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■30179 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 有限生成群と可算

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□投稿者/ Sweet 一般人(43回)-(2007/12/12(Wed) 20:14:31)

わかりました☆
ありがとうございます！

解決済み!

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■30646 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 有限生成群と可算

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□投稿者/ Red cat 一般人(1回)-(2008/01/08(Tue) 23:03:00)
http://www.akanekodou.mydns.jp/

初めまして。

サボテンさんの解法ではやや拙いところがありますので、私が改めて。

一般に、有限生成な自由群が加算集合であることが言えれば、有限生成群は自由群の剰余群として表せることから従います。

$2$F = <x_1 , x_2 , \cdots , x_n>$
を自由群とします。このとき、記号として
$2$\{x_1 , x_2 , \cdots , x_n , {x_1}^{-1} , {x_2}^{-1} , \cdots , {x_n}^{-1}\}$
の $2$ 2n$ 個を用意し、これらの記号によって生成される語の全体を $2$W$ とします。

$2$F$ は、 $2$W$ に適当な同値関係と演算を導入して群とみなすわけですが、このとき $2$W$ が加算集合ですから、それを同値関係で割っただけの $2$F$ も高々加算です。

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■30650 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 有限生成群と可算

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□投稿者/ x 一般人(32回)-(2008/01/09(Wed) 05:42:00)